Determine se a série a seguir converge ou diverge. Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série infinita
converge ou diverge. A matéria que vamos usar aqui é sobre séries infinitas e os testes de convergência, mais especificamente o Teste da Comparação. Vamos precisar comparar essa série com outra que já sabemos se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão do termo geral:
Quando
fica bem grande, o
dentro da raiz vira praticamente irrelevante, então podemos dizer que:
Então, nosso termo fica aproximadamente:
Passo 3
Agora, vamos comparar com uma série conhecida. Sabemos que a série
chamada série harmônica, diverge. Isso significa que, se nossa série original se comporta como a série harmônica para
grande, podemos esperar que ela também diverja.
Passo 4
Para aplicar o Teste da Comparação, precisamos mostrar que:
para todo
a partir de algum valor. Vamos verificar:
Como
,
então:
Como
também é uma série que diverge (pois é uma constante vezes a série harmônica), concluímos pelo Teste da Comparação que nossa série original também diverge.
Resposta
A série
diverge.
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, sen
Use o teste da razão para determinar se a série a seguir é convergente ou divergente.
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