Determine se a série a seguir converge ou diverge. Justifique.
sumn=1^infty 2raizn^2+5

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série infinita
sumn=1^infty 2raizn^2+5
converge ou diverge. A matéria que vamos usar aqui é sobre séries infinitas e os testes de convergência, mais especificamente o Teste da Comparação. Vamos precisar comparar essa série com outra que já sabemos se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão do termo geral:
2raizn^2+5
Quando raizn^2+5 approx raizn^2 = n fica bem grande, o 2n dentro da raiz vira praticamente irrelevante, então podemos dizer que:
Então, nosso termo fica aproximadamente:

Passo 3

Agora, vamos comparar com uma série conhecida. Sabemos que a série
sumn=1^infty 1n
chamada série harmônica, diverge. Isso significa que, se nossa série original se comporta como a série harmônica para grande, podemos esperar que ela também diverja.

Passo 4

Para aplicar o Teste da Comparação, precisamos mostrar que:
2raizn^2+5 >= 1n
para todo 2raizn^2+5 >= 2nraiz2 = raiz2n a partir de algum valor. Vamos verificar:
Como ,
então:
Como também é uma série que diverge (pois é uma constante vezes a série harmônica), concluímos pelo Teste da Comparação que nossa série original também diverge.

Resposta

A série
sumn=1^infty 2raizn^2+5
diverge.

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