Calcule o comprimento da curva.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o comprimento da curva definida por
onde
varia de
a
. Estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente com o comprimento de curvas paramétricas. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco para curvas no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula que usamos para encontrar o comprimento de uma curva paramétrica. Se tivermos uma curva dada por
, o comprimento
dessa curva de
até
é dado por:
Essa fórmula basicamente soma infinitesimais de comprimento ao longo da curva para obter o comprimento total.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa fórmula à nossa curva específica
. Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de cada componente em relação a
:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o quadrado de cada uma dessas derivadas:
Passo 5
Agora, somamos esses quadrados para usar na fórmula do comprimento:
Perceba que
, então podemos simplificar:
Passo 6
Agora, substituímos essa soma na fórmula do comprimento:
Como
é uma constante em relação a
, podemos tirar da integral:
Passo 7
Calculando a integral simples:
Então, o comprimento da curva fica:
Resposta
O comprimento da curva é
.