Calcule o comprimento da curva. r(t) = (a cos(t), a sen(t), b t), t in [0, 2 pi]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o comprimento da curva definida por onde varia de a . Estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente com o comprimento de curvas paramétricas. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco para curvas no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula que usamos para encontrar o comprimento de uma curva paramétrica. Se tivermos uma curva dada por , o comprimento dessa curva de até é dado por:
Essa fórmula basicamente soma infinitesimais de comprimento ao longo da curva para obter o comprimento total.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula à nossa curva específica . Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de cada componente em relação a :

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o quadrado de cada uma dessas derivadas:

Passo 5

Agora, somamos esses quadrados para usar na fórmula do comprimento:
Perceba que , então podemos simplificar:

Passo 6

Agora, substituímos essa soma na fórmula do comprimento:
Como é uma constante em relação a , podemos tirar da integral:

Passo 7

Calculando a integral simples:
Então, o comprimento da curva fica:

Resposta

O comprimento da curva é .

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