Determine o campo normal unitário do paraboloide

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um paraboloide dado pela parametrização . Nosso objetivo é encontrar o campo normal unitário dessa superfície. Para isso, vamos usar cálculo vetorial, especificamente derivadas parciais e produto vetorial, para encontrar um vetor normal à superfície e, em seguida, normalizá-lo para que tenha comprimento 1.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e .
Calculando a derivada em relação a :
Calculando a derivada em relação a :

Passo 3

Agora, vamos encontrar um vetor normal à superfície usando o produto vetorial das derivadas parciais e .
Calculando o produto vetorial:
Resolvendo o determinante:
Como , simplificamos:

Passo 4

Para obter o vetor normal unitário, precisamos normalizar o vetor . Isso significa dividir pela sua magnitude.
Calculando a magnitude de :

Passo 5

Agora, dividimos cada componente de pela sua magnitude para obter o campo normal unitário :
Simplificando:

Resposta

O campo normal unitário do paraboloide é:

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26.
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.