Determine o campo normal unitário do paraboloide r(u, v) = <u cos(v), u sen(v), u^2 - 1>

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um paraboloide dado pela parametrização r(u, v) = <u cos(v), u sen(v), u^2 - 1>. Nosso objetivo é encontrar o campo normal unitário dessa superfície. Para isso, vamos usar cálculo vetorial, especificamente derivadas parciais e produto vetorial, para encontrar um vetor normal à superfície e, em seguida, normalizá-lo para que tenha comprimento 1.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função r(u, v) em relação a u e v.
Calculando a derivada em relação a u:
Calculando a derivada em relação a v:

Passo 3

Agora, vamos encontrar um vetor normal à superfície usando o produto vetorial das derivadas parciais e .
Calculando o produto vetorial:
Resolvendo o determinante:
Como , simplificamos:

Passo 4

Para obter o vetor normal unitário, precisamos normalizar o vetor n. Isso significa dividir n pela sua magnitude.
Calculando a magnitude de n:

Passo 5

Agora, dividimos cada componente de n pela sua magnitude para obter o campo normal unitário :
Simplificando:

Resposta

O campo normal unitário do paraboloide é:

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