Inverta a ordem de integração
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo que pede pra gente inverter a ordem de integração de uma integral dupla. Isso faz parte do estudo de integrais múltiplas, onde a gente integra uma função em duas variáveis, x e y. Para resolver isso, a gente vai precisar entender os limites de integração originais e redesenhar a região de integração no plano xy para ajustar os novos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração que a gente tem na integral original:
Aqui, x varia de -1 a 2. Para cada valor de x, y varia de até . Vamos desenhar isso no plano xy pra visualizar melhor.

Passo 3

Vamos achar as equações que definem os limites de y:
Para inverter a ordem, precisamos expressar x em função de y. Vamos resolver cada equação para x.

Passo 4

Começando com :
Multiplicando ambos os lados por 3:
Isolando x:
Agora, para , vamos elevar ao quadrado ambos os lados:
Multiplicando por 3:
Isolando :
Então,

Passo 5

Agora, vamos determinar os limites de y. Observando as duas curvas:
  1. sempre é positiva ou zero.
  2. varia conforme x.
Para achar os limites de y, vamos encontrar onde essas duas curvas se interceptam. Igualando as duas expressões de y:
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Multiplicando por 9 para tirar os denominadores:
Explicando e resolvendo essa equação vai nos dar os valores de x nos quais as curvas se cruzam, o que ajudará a definir os limites de y.

Passo 6

Resolvendo a equação:
Subtraindo de ambos os lados:
Simplificando:
Dividindo toda a equação por 14:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, ou . Isso significa que as curvas se interceptam nos pontos e .

Passo 7

Agora sabemos que y varia de um valor mínimo até um valor máximo. Vamos determinar esses valores usando os pontos de interseção.
Para :
Para :
Então, y varia de 2 a 3.

Passo 8

Agora vamos determinar os limites de x para cada y dentro desse intervalo de 2 a 3.
A partir das equações que encontramos:
Para cada y entre 2 e 3, x varia entre e .

Passo 9

Finalmente, podemos escrever a integral com a ordem de integração invertida. Agora, integramos primeiro em x, de a , e depois em y, de 2 a 3.

Resposta

A ordem de integração invertida fica:

Exercícios relacionados

Calcule o comprimento da curva.
Determine o campo normal unitário do paraboloide
Calcule a curvatura: ;
Calcule a curvatura: ;