Inverta a ordem de integração
integral-1^2[integralraiz7+5 x^23^x+73 f(x, y) d y] d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo que pede pra gente inverter a ordem de integração de uma integral dupla. Isso faz parte do estudo de integrais múltiplas, onde a gente integra uma função em duas variáveis, x e y. Para resolver isso, a gente vai precisar entender os limites de integração originais e redesenhar a região de integração no plano xy para ajustar os novos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração que a gente tem na integral original:
integral-1^2[integralraiz7+5 x^23^x+73 f(x, y) , dy] , dx
Aqui, x varia de -1 a 2. Para cada valor de x, y varia de até . Vamos desenhar isso no plano xy pra visualizar melhor.

Passo 3

Vamos achar as equações que definem os limites de y:
Para inverter a ordem, precisamos expressar x em função de y. Vamos resolver cada equação para x.

Passo 4

Começando com 3y = x + 7 :
Multiplicando ambos os lados por 3:
x = 3y - 7
Isolando x:
y^2 = 7 + 5x^23
Agora, para 3y^2 = 7 + 5x^2 , vamos elevar ao quadrado ambos os lados:
5x^2 = 3y^2 - 7
Multiplicando por 3:
x^2 = 3y^2 - 75
Isolando x = pm raiz3y^2 - 75 :
Então,

Passo 5

Agora, vamos determinar os limites de y. Observando as duas curvas:
  1. raiz7 + 5x^23 = x + 73 sempre é positiva ou zero.
  2. 7 + 5x^23 = (x + 7)^29 varia conforme x.
Para achar os limites de y, vamos encontrar onde essas duas curvas se interceptam. Igualando as duas expressões de y:
3(7 + 5x^2) = (x + 7)^2
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Multiplicando por 9 para tirar os denominadores:
Explicando e resolvendo essa equação vai nos dar os valores de x nos quais as curvas se cruzam, o que ajudará a definir os limites de y.

Passo 6

Resolvendo a equação:
21 + 15x^2 = x^2 + 14x + 49
Subtraindo 21 + 15x^2 - x^2 - 14x - 49 = 0 de ambos os lados:
14x^2 - 14x - 28 = 0
Simplificando:
x^2 - x - 2 = 0
Dividindo toda a equação por 14:
x = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32
Resolvendo a equação quadrática:
Então, ou . Isso significa que as curvas se interceptam nos pontos e .

Passo 7

Agora sabemos que y varia de um valor mínimo até um valor máximo. Vamos determinar esses valores usando os pontos de interseção.
Para y = -1 + 73 = 2 :
y = 2 + 73 = 3
Para :
Então, y varia de 2 a 3.

Passo 8

Agora vamos determinar os limites de x para cada y dentro desse intervalo de 2 a 3.
A partir das equações que encontramos:
Para cada y entre 2 e 3, x varia entre e .

Passo 9

Finalmente, podemos escrever a integral com a ordem de integração invertida. Agora, integramos primeiro em x, de a , e depois em y, de 2 a 3.

Resposta

A ordem de integração invertida fica:
integral2^3 [ integral-raiz3y^2 - 75^3y - 7 f(x, y) , dx ] , dy

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