Inverta a ordem de integração
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo que pede pra gente inverter a ordem de integração de uma integral dupla. Isso faz parte do estudo de integrais múltiplas, onde a gente integra uma função em duas variáveis, x e y. Para resolver isso, a gente vai precisar entender os limites de integração originais e redesenhar a região de integração no plano xy para ajustar os novos limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração que a gente tem na integral original:
Aqui, x varia de -1 a 2. Para cada valor de x, y varia de
até
. Vamos desenhar isso no plano xy pra visualizar melhor.
Passo 3
Vamos achar as equações que definem os limites de y:
Para inverter a ordem, precisamos expressar x em função de y. Vamos resolver cada equação para x.
Passo 4
Começando com
:
Multiplicando ambos os lados por 3:
Isolando x:
Agora, para
, vamos elevar ao quadrado ambos os lados:
Multiplicando por 3:
Isolando
:
Então,
Passo 5
Agora, vamos determinar os limites de y. Observando as duas curvas:
-
sempre é positiva ou zero. -
varia conforme x.
Para achar os limites de y, vamos encontrar onde essas duas curvas se interceptam. Igualando as duas expressões de y:
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Multiplicando por 9 para tirar os denominadores:
Explicando e resolvendo essa equação vai nos dar os valores de x nos quais as curvas se cruzam, o que ajudará a definir os limites de y.
Passo 6
Resolvendo a equação:
Subtraindo
de ambos os lados:
Simplificando:
Dividindo toda a equação por 14:
Resolvendo a equação quadrática:
Então,
ou
. Isso significa que as curvas se interceptam nos pontos
e
.
Passo 7
Agora sabemos que y varia de um valor mínimo até um valor máximo. Vamos determinar esses valores usando os pontos de interseção.
Para
:
Para
:
Então, y varia de 2 a 3.
Passo 8
Agora vamos determinar os limites de x para cada y dentro desse intervalo de 2 a 3.
A partir das equações que encontramos:
Para cada y entre 2 e 3, x varia entre
e
.
Passo 9
Finalmente, podemos escrever a integral com a ordem de integração invertida. Agora, integramos primeiro em x, de
a
, e depois em y, de 2 a 3.
Resposta
A ordem de integração invertida fica:
Exercícios relacionados
Calcule o comprimento da curva.
Determine o campo normal unitário do paraboloide
Calcule a curvatura:
;
Calcule a curvatura:
;