Vamos calcular a curvatura da curva definida por . Esse problema está relacionado à Geometria Diferencial, especificamente ao estudo de curvas no espaço. Para resolver, vamos precisar usar as fórmulas que envolvem derivadas de vetores e produtos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a curvatura de uma curva parametrizada por é dada por:
Aqui, é a primeira derivada de em relação a (velocidade), e é a segunda derivada (aceleração). O representa o produto vetorial entre dois vetores.
Passo 3
Vamos calcular , a primeira derivada de :
Aqui, derivamos cada componente de em relação a .
Passo 4
Agora, calculamos , a segunda derivada de :
Mais uma vez, derivamos cada componente de em relação a .
Passo 5
Vamos calcular o produto vetorial . O produto vetorial de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso a e :
Calculando o determinante:
Passo 6
Vamos calcular a norma do produto vetorial que encontramos:
Mas, percebemos que , então:
Passo 7
Agora, vamos calcular , a norma do vetor velocidade:
Porque .
Passo 8
Finalmente, substituímos tudo na fórmula da curvatura: