Calcule a curvatura: ;

Passo 1

Vamos calcular a curvatura da curva definida por . Esse problema está relacionado à Geometria Diferencial, especificamente ao estudo de curvas no espaço. Para resolver, vamos precisar usar as fórmulas que envolvem derivadas de vetores e produtos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a curvatura de uma curva parametrizada por é dada por:
Aqui, é a primeira derivada de em relação a (velocidade), e é a segunda derivada (aceleração). O representa o produto vetorial entre dois vetores.

Passo 3

Vamos calcular , a primeira derivada de :
Aqui, derivamos cada componente de em relação a .

Passo 4

Agora, calculamos , a segunda derivada de :
Mais uma vez, derivamos cada componente de em relação a .

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial . O produto vetorial de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso a e :
Calculando o determinante:

Passo 6

Vamos calcular a norma do produto vetorial que encontramos:
Mas, percebemos que , então:

Passo 7

Agora, vamos calcular , a norma do vetor velocidade:
Porque .

Passo 8

Finalmente, substituímos tudo na fórmula da curvatura:

Resposta

A curvatura da curva é .

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Inverta a ordem de integração
.
Calcule o comprimento da curva.
Calcule a curvatura: ;
Inverta a ordem de integração
.