Nos exercícios 12 a 34, calcular as integrais.
26.
26.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções polinomiais e raízes quadradas. Para resolver essa integral, vamos usar o método de substituição, que nos ajuda a simplificar integrais complicadas transformando uma parte da expressão em uma nova variável.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir. Observamos que
está dentro da raiz quadrada, então vamos definir:
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
. Derivando ambos os lados:
Passo 3
Vamos também expressar
em termos de
. Como
, podemos rearranjar para encontrar:
Agora, substituímos
e
na integral original:
Precisamos ajustar os limites de integração. Quando
:
Quando
:
Portanto, a integral fica:
Passo 4
Vamos simplificar a integral multiplicando os termos dentro:
Então, a integral se transforma em:
Passo 5
Agora, integraremos cada termo separadamente. Lembre-se que a integral de
em relação a
é
:
Portanto, a integral se torna:
Como estamos avaliando uma integral definida de 1 a 4, não precisamos da constante
.
Passo 6
Vamos agora substituir os limites de integração de
a
:
Primeiro, calculamos para
:
Sabemos que
, então:
Portanto:
Passo 7
Agora, calculamos para
:
Passo 8
Subtraímos os valores:
Simplificando:
Para subtrair essas frações, encontramos o denominador comum, que é 15:
Então:
Resposta
O valor da integral é
.
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