Nos exercícios 12 a 34, calcular as integrais.
26.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções polinomiais e raízes quadradas. Para resolver essa integral, vamos usar o método de substituição, que nos ajuda a simplificar integrais complicadas transformando uma parte da expressão em uma nova variável.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir. Observamos que está dentro da raiz quadrada, então vamos definir:
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir . Derivando ambos os lados:

Passo 3

Vamos também expressar em termos de . Como , podemos rearranjar para encontrar:
Agora, substituímos e na integral original:
Precisamos ajustar os limites de integração. Quando :
Quando :
Portanto, a integral fica:

Passo 4

Vamos simplificar a integral multiplicando os termos dentro:
Então, a integral se transforma em:

Passo 5

Agora, integraremos cada termo separadamente. Lembre-se que a integral de em relação a é :
Portanto, a integral se torna:
Como estamos avaliando uma integral definida de 1 a 4, não precisamos da constante .

Passo 6

Vamos agora substituir os limites de integração de a :
Primeiro, calculamos para :
Sabemos que , então:
Portanto:

Passo 7

Agora, calculamos para :

Passo 8

Subtraímos os valores:
Simplificando:
Para subtrair essas frações, encontramos o denominador comum, que é 15:
Então:

Resposta

O valor da integral é .

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