Nos exercícios 12 a 34, calcular as integrais.
26. integral0^3 x raiz1+x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções polinomiais e raízes quadradas. Para resolver essa integral, vamos usar o método de substituição, que nos ajuda a simplificar integrais complicadas transformando uma parte da expressão em uma nova variável.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir. Observamos que u = 1 + x está dentro da raiz quadrada, então vamos definir:
dudx = 1 implies du = dx
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir . Derivando ambos os lados:

Passo 3

Vamos também expressar x = u - 1 em termos de integral0^3 x raiz1+x , dx = integralu(0)^u(3) (u - 1) raizu , du . Como u = 1 + 0 = 1 , podemos rearranjar para encontrar:
u = 1 + 3 = 4
Agora, substituímos integral1^4 (u - 1) raizu , du e na integral original:
Precisamos ajustar os limites de integração. Quando :
Quando :
Portanto, a integral fica:

Passo 4

Vamos simplificar a integral multiplicando os termos dentro:
(u - 1) raizu = u cdot u^1/2 - 1 cdot u^1/2 = u^3/2 - u^1/2
Então, a integral se transforma em:
integral1^4 ( u^3/2 - u^1/2 ) , du

Passo 5

Agora, integraremos cada termo separadamente. Lembre-se que a integral de integral u^3/2 , du = u^5/25/2 = 25 u^5/2 em relação a integral u^1/2 , du = u^3/23/2 = 23 u^3/2 é 25 u^5/2 - 23 u^3/2 + C :
Portanto, a integral se torna:
Como estamos avaliando uma integral definida de 1 a 4, não precisamos da constante .

Passo 6

Vamos agora substituir os limites de integração de [ 25 u^5/2 - 23 u^3/2 ]1^4 a 25 (4)^5/2 - 23 (4)^3/2 :
4^5/2 = (4^1/2)^5 = 2^5 = 32
Primeiro, calculamos para 4^3/2 = (4^1/2)^3 = 2^3 = 8 :
25 times 32 - 23 times 8 = 645 - 163
Sabemos que , então:
Portanto:

Passo 7

Agora, calculamos para 25 (1)^5/2 - 23 (1)^3/2 = 25 times 1 - 23 times 1 = 25 - 23 :

Passo 8

Subtraímos os valores:
( 645 - 163 ) - ( 25 - 23 ) = 645 - 163 - 25 + 23
Simplificando:
( 645 - 25 ) + ( -163 + 23 ) = 625 - 143
Para subtrair essas frações, encontramos o denominador comum, que é 15:
625 = 62 times 315 = 18615
143 = 14 times 515 = 7015
Então:
18615 - 7015 = 11615

Resposta

O valor da integral é .

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