Calcule o comprimento da curva definida por do ponto ao ponto .

Passo 1

Então, a gente tem um problema de cálculo que pede para calcular o comprimento de uma curva definida pela função vetorial . A gente precisa encontrar o comprimento dessa curva que vai do ponto até o ponto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a fórmula para o comprimento de uma curva parametrizada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de uma curva parametrizada no intervalo . A fórmula é:
Essa fórmula basicamente soma todos os pequenos pedaços da curva para encontrar o comprimento total.

Passo 3

Agora, vamos identificar as componentes da nossa função :
Precisamos encontrar as derivadas dessas funções em relação a :

Passo 4

Substituindo as derivadas na fórmula do comprimento:
Agora precisamos determinar os limites de integração e . Observando os pontos dados:
Quando , \
Quando ,
Então, e .

Passo 5

Agora, a integral fica:
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição trigonométrica ou reconhecer que ela se relaciona com funções hiperbólicas. Mas uma maneira mais direta é usar uma substituição simples.
Vamos definir:
Quando , \
Quando ,

Passo 6

Substituindo na integral:
Agora, sabemos que a integral de é:

Passo 7

Aplicando os limites de integração:
Calculando para :
E para :

Passo 8

Portanto, o comprimento da curva é:
Simplificando um pouco:

Resposta

O comprimento da curva é , aproximadamente igual a 1,58 unidades.

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Dada a função
para qual valor de é contínua em ?