Calcule o comprimento da curva definida por
do ponto
ao ponto
.
Passo 1
Então, a gente tem um problema de cálculo que pede para calcular o comprimento de uma curva definida pela função vetorial
. A gente precisa encontrar o comprimento dessa curva que vai do ponto
até o ponto
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a fórmula para o comprimento de uma curva parametrizada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de uma curva parametrizada
no intervalo
. A fórmula é:
Essa fórmula basicamente soma todos os pequenos pedaços da curva para encontrar o comprimento total.
Passo 3
Agora, vamos identificar as componentes da nossa função
:
Precisamos encontrar as derivadas dessas funções em relação a
:
Passo 4
Substituindo as derivadas na fórmula do comprimento:
Agora precisamos determinar os limites de integração
e
. Observando os pontos dados:
Quando
,
\
Quando ,
Quando
Então,
e
.
Passo 5
Agora, a integral fica:
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição trigonométrica ou reconhecer que ela se relaciona com funções hiperbólicas. Mas uma maneira mais direta é usar uma substituição simples.
Vamos definir:
Quando
,
\
Quando ,
Quando
Passo 6
Substituindo na integral:
Agora, sabemos que a integral de
é:
Passo 7
Aplicando os limites de integração:
Calculando para
:
E para
:
Passo 8
Portanto, o comprimento da curva é:
Simplificando um pouco:
Resposta
O comprimento da curva é
, aproximadamente igual a 1,58 unidades.
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Seja
um corpo. Utilizando-se os axiomas, prove cada igualdade a seguir:
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um corpo. Utilizando-se os axiomas, prove cada igualdade a seguir:
Dada a função
para qual valor de
é contínua em
?