Seja K um corpo. Utilizando-se os axiomas, prove cada igualdade a seguir:
(-x) * y = x * (-y) = -(x * y)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um corpo K e queremos provar, usando os axiomas desse corpo, que ao multiplicar um elemento negativo por outro elemento, obtemos:
Para resolver isso, vamos precisar lembrar dos axiomas de adição e multiplicação em um corpo, especialmente aqueles relacionados aos elementos inversos e à distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos provar que .
Passo 2.1: Sabemos que para qualquer elemento x no corpo, existe um elemento -x tal que:
Passo 2.2: Vamos multiplicar ambos os lados dessa igualdade pelo elemento y:
Passo 2.3: Usando a distribuição da multiplicação sobre a adição, temos:
Passo 2.4: Sabemos que a multiplicação é comutativa, então . Substituindo:
Passo 2.5: Isolando :
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos provar que .
Passo 3.1: Similar ao passo anterior, sabemos que existe -y tal que:
Passo 3.2: Multiplicando ambos os lados por x:
Passo 3.3: Aplicando a distribuição novamente:
Passo 3.4: Isolando :
Portanto:

Passo 4

Agora que provamos que:
Podemos concluir que:

Resposta

As igualdades foram comprovadas usando os axiomas de um corpo.

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