Seja
um corpo. Utilizando-se os axiomas, prove cada igualdade a seguir:
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um corpo
e queremos provar, usando os axiomas desse corpo, que ao multiplicar um elemento negativo por outro elemento, obtemos:
Para resolver isso, vamos precisar lembrar dos axiomas de adição e multiplicação em um corpo, especialmente aqueles relacionados aos elementos inversos e à distribuição.
Passo 2
Primeiro, vamos provar que
.
Passo 2.1: Sabemos que para qualquer elemento
no corpo, existe um elemento
tal que:
Passo 2.2: Vamos multiplicar ambos os lados dessa igualdade pelo elemento
:
Passo 2.3: Usando a distribuição da multiplicação sobre a adição, temos:
Passo 2.4: Sabemos que a multiplicação é comutativa, então
. Substituindo:
Passo 2.5: Isolando
:
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos provar que
.
Passo 3.1: Similar ao passo anterior, sabemos que existe
tal que:
Passo 3.2: Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 3.3: Aplicando a distribuição novamente:
Passo 3.4: Isolando
:
Portanto:
Passo 4
Agora que provamos que:
Podemos concluir que:
Resposta
As igualdades
foram comprovadas usando os axiomas de um corpo.
Exercícios relacionados
*Se
for enumerável, mostre que
é denso em
.
*Mostre que o conjunto
é enumerável.
Seja
um corpo. Utilizando-se os axiomas, prove cada igualdade a seguir:
Calcule o comprimento da curva definida por
do ponto
ao ponto
.