Seja um corpo. Utilizando-se os axiomas, prove cada igualdade a seguir:

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um corpo e queremos provar, usando os axiomas desse corpo, que ao multiplicar um elemento negativo por outro elemento, obtemos:
Para resolver isso, vamos precisar lembrar dos axiomas de adição e multiplicação em um corpo, especialmente aqueles relacionados aos elementos inversos e à distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos provar que .
Passo 2.1: Sabemos que para qualquer elemento no corpo, existe um elemento tal que:
Passo 2.2: Vamos multiplicar ambos os lados dessa igualdade pelo elemento :
Passo 2.3: Usando a distribuição da multiplicação sobre a adição, temos:
Passo 2.4: Sabemos que a multiplicação é comutativa, então . Substituindo:
Passo 2.5: Isolando :
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos provar que .
Passo 3.1: Similar ao passo anterior, sabemos que existe tal que:
Passo 3.2: Multiplicando ambos os lados por :
Passo 3.3: Aplicando a distribuição novamente:
Passo 3.4: Isolando :
Portanto:

Passo 4

Agora que provamos que:
Podemos concluir que:

Resposta

As igualdades foram comprovadas usando os axiomas de um corpo.

Exercícios relacionados

*Se for enumerável, mostre que é denso em .
*Mostre que o conjunto é enumerável.
Seja um corpo. Utilizando-se os axiomas, prove cada igualdade a seguir:
Calcule o comprimento da curva definida por do ponto ao ponto .