Dada a função
para qual valor de é contínua em ?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de continuidade de funções de duas variáveis. A função dada é:
Queremos encontrar o valor de que faz a função ser contínua no ponto . Para isso, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a continuidade em exige que o limite da função quando tende a seja igual a . Portanto, nosso objetivo é encontrar:

Passo 3

Para calcular esse limite, vamos simplificar a expressão. Observamos que o denominador é . Vamos chamar e . Assim, quando , temos e .
Substituindo na expressão:

Passo 4

Agora, vamos fatorar o numerador:
Sabemos que , então:
Portanto, a expressão fica:

Passo 5

Simplificando, cancelamos o termo no numerador e denominador:
Agora, substituímos e por e , que tendem a 1:

Resposta

O valor de que torna a função contínua em é .

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Calcule o comprimento da curva definida por do ponto ao ponto .
Seja um corpo. Utilizando-se os axiomas, prove cada igualdade a seguir:
Seja um corpo. Prove os seguintes fatos:
(Unicidade da unidade) Se é tal que , então .