Dada a função
f(x, y)=rrr x-y+2 raizx-2 raizyraizx-raizy & se & (x, y) neq(1,1) L & se (x, y)=(1,1)
para qual valor de L f é contínua em (1,1) ?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de continuidade de funções de duas variáveis. A função dada é:
f(x, y)=rrr x - y + 2 raizx - 2 raizyraizx - raizy & se & (x, y) neq (1,1) L & se & (x, y) = (1,1)
Queremos encontrar o valor de que faz a função ser contínua no ponto . Para isso, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a continuidade em lim(x,y) to (1,1) x - y + 2 raizx - 2 raizyraizx - raizy = L exige que o limite da função quando tende a seja igual a . Portanto, nosso objetivo é encontrar:

Passo 3

Para calcular esse limite, vamos simplificar a expressão. Observamos que o denominador é x - y + 2 raizx - 2 raizyraizx - raizy = s^2 - t^2 + 2s - 2ts - t . Vamos chamar e . Assim, quando , temos e .
Substituindo na expressão:

Passo 4

Agora, vamos fatorar o numerador:
s^2 - t^2 + 2s - 2t = (s^2 - t^2) + 2(s - t)
Sabemos que (s - t)(s + t) + 2(s - t) = (s - t)(s + t + 2) , então:
(s - t)(s + t + 2)s - t
Portanto, a expressão fica:

Passo 5

Simplificando, cancelamos o termo s + t + 2 no numerador e denominador:
1 + 1 + 2 = 4
Agora, substituímos e por e , que tendem a 1:

Resposta

O valor de que torna a função contínua em é .

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