Dada a função
para qual valor de
é contínua em
?
Passo 1
Vamos resolver um exercício de continuidade de funções de duas variáveis. A função dada é:
Queremos encontrar o valor de
que faz a função
ser contínua no ponto
. Para isso, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a continuidade em
exige que o limite da função quando
tende a
seja igual a
. Portanto, nosso objetivo é encontrar:
Passo 3
Para calcular esse limite, vamos simplificar a expressão. Observamos que o denominador é
. Vamos chamar
e
. Assim, quando
, temos
e
.
Substituindo na expressão:
Passo 4
Agora, vamos fatorar o numerador:
Sabemos que
, então:
Portanto, a expressão fica:
Passo 5
Simplificando, cancelamos o termo
no numerador e denominador:
Agora, substituímos
e
por
e
, que tendem a 1:
Resposta
O valor de
que torna a função contínua em
é
.
Exercícios relacionados
Calcule o comprimento da curva definida por
do ponto
ao ponto
.
Seja
um corpo. Utilizando-se os axiomas, prove cada igualdade a seguir:
Seja
um corpo. Prove os seguintes fatos:
(Unicidade da unidade) Se é tal que
, então
.
(Unicidade da unidade) Se