Calcule o comprimento da curva de equações paramétricas
e
.
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício para calcular o comprimento de uma curva definida pelas equações paramétricas
e
, onde
varia de 0 a 2. Vamos usar o conteúdo de cálculo, especificamente a fórmula para comprimento de curvas paramétricas. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas de
e
em relação a
, montar a integral apropriada e então resolver essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva paramétrica. Se temos
e
, o comprimento
da curva de
a
é dado por:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
.
Para
:
Para
:
Passo 4
Vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento:
Podemos fatorar 36 dentro da raiz:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Para resolver essa integral, podemos usar substituição. Vamos deixar
, então
ou
.
Substituindo na integral:
Integrando:
Sabendo que
:
Resposta
A resposta correta é a opção e)
.