Calcule o comprimento da curva de equações paramétricas x = 3 t^2 e y = 2 t^3, 0 <= t <= 2.
a) 10 * raiz(2) - 5
b) 5 * raiz(2) - 5
c) 2 * raiz(5) - 2
d) raiz(5) - 5
e) 10 * raiz(5) - 2

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício para calcular o comprimento de uma curva definida pelas equações paramétricas e , onde varia de 0 a 2. Vamos usar o conteúdo de cálculo, especificamente a fórmula para comprimento de curvas paramétricas. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas de e em relação a , montar a integral apropriada e então resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva paramétrica. Se temos e , o comprimento da curva de a é dado por:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de e em relação a .
Para :
Para :

Passo 4

Vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento:
Podemos fatorar 36 dentro da raiz:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Para resolver essa integral, podemos usar substituição. Vamos deixar , então ou .
Substituindo na integral:
Integrando:
Sabendo que :

Resposta

A resposta correta é a opção e) .

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