Calcule o comprimento da curva de equações paramétricas
e
.
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício para calcular o comprimento de uma curva definida pelas equações paramétricas
e
, onde
varia de 0 a 2. Vamos usar o conteúdo de cálculo, especificamente a fórmula para comprimento de curvas paramétricas. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas de
e
em relação a
, montar a integral apropriada e então resolver essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva paramétrica. Se temos
e
, o comprimento
da curva de
a
é dado por:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
.
Para
:
Para
:
Passo 4
Vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento:
Podemos fatorar 36 dentro da raiz:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Para resolver essa integral, podemos usar substituição. Vamos deixar
, então
ou
.
Substituindo na integral:
Integrando:
Sabendo que
:
Resposta
A resposta correta é a opção e)
.
Exercícios relacionados
Usando o Wronskiano, mostre a independência linear dos seguintes pares de funções (índices diferentes significam constantes diferentes).
Resolva em
as seguintes inequações
h)
h)
Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações
a)
a)
Encontre a área da região que está dentro de ambos os círculos
e
.
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)