Usando o Wronskiano, mostre a independência linear dos seguintes pares de funções (índices diferentes significam constantes diferentes).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que as funções e são linearmente independentes usando o Wronskiano. Então, vamos precisar entender o que é o Wronskiano e como ele nos ajuda a verificar a independência linear de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Wronskiano. É uma ferramenta que usamos em cálculo para determinar se um conjunto de funções é linearmente independente. Para duas funções e , o Wronskiano é calculado assim:
Se o Wronskiano for diferente de zero para algum valor de , então as funções são linearmente independentes.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas das funções e :

Passo 4

Agora, vamos montar o Wronskiano usando essas funções e suas derivadas:

Passo 5

Simplificando a expressão, percebemos que:
Assim, o Wronskiano fica:

Passo 6

Observamos que e a função exponencial nunca é zero para qualquer valor de . Portanto, o Wronskiano é sempre diferente de zero.

Resposta

Como o Wronskiano é diferente de zero, concluímos que as funções e são linearmente independentes.

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h)
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