Usando o Wronskiano, mostre a independência linear dos seguintes pares de funções (índices diferentes significam constantes diferentes).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que as funções e são linearmente independentes usando o Wronskiano. Então, vamos precisar entender o que é o Wronskiano e como ele nos ajuda a verificar a independência linear de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Wronskiano. É uma ferramenta que usamos em cálculo para determinar se um conjunto de funções é linearmente independente. Para duas funções e , o Wronskiano é calculado assim:
Se o Wronskiano for diferente de zero para algum valor de , então as funções são linearmente independentes.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas das funções e :
Passo 4
Agora, vamos montar o Wronskiano usando essas funções e suas derivadas:
Passo 5
Simplificando a expressão, percebemos que:
Assim, o Wronskiano fica:
Passo 6
Observamos que e a função exponencial nunca é zero para qualquer valor de . Portanto, o Wronskiano é sempre diferente de zero.
Resposta
Como o Wronskiano é diferente de zero, concluímos que as funções e são linearmente independentes.