Encontre a área da região que está dentro de ambos os círculos r = 2 sen(theta) e r = sen(theta) + cos(theta).
a) (pi - 3) / 2
b) (pi - 1) / 3
c) (pi - 1) / 2
d) (2*pi - 1) / 3
e) (\pi - 2) / 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema que pede para encontrar a área da região que está dentro de dois círculos definidos pelas equações polares e . Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica em coordenadas polares e calcular áreas de interseção entre círculos. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada equação representa. A equação descreve um círculo com raio 1, centrado no ponto (0,1) no sistema de coordenadas cartesianas. Já a equação também representa um círculo, mas com raio e centrado no ponto .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos onde esses dois círculos se intersectam. Para isso, igualamos as duas equações:
Simplificando, temos:
Isso nos dá os ângulos de interseção:

Passo 4

Com os pontos de interseção identificados, vamos calcular a área comum aos dois círculos entre esses ângulos. Para isso, usamos a fórmula da área em coordenadas polares:
Onde e .

Passo 5

Ao calcular essa integral, consideramos a diferença das áreas dos dois círculos no intervalo de a . Após resolver a integral, chegamos à expressão para a área de interseção:

Resposta

A área da região que está dentro de ambos os círculos é . Portanto, a opção correta é a e) .

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