Calcule o comprimento da curva
gamma(t) = <(t^2)/2, t^3, raiz(2) t^2>; 0 <= t <= 1
Resp.: 2 * raiz(2) - 1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma curva definida parametricamente por para entre 0 e 1. O objetivo é calcular o comprimento dessa curva no intervalo dado. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de uma curva no espaço tridimensional, que envolve derivadas e integrais.

Passo 2

A fórmula para calcular o comprimento de uma curva paramétrica de a é dada por:
onde é a derivada da curva em relação a , e representa o comprimento do vetor derivada, ou seja, a norma do vetor.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular as derivadas das componentes da curva:

Passo 4

Agora, calculamos a norma da derivada:
Substituindo as derivadas:

Passo 5

Agora, integramos a norma da derivada de a :
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição , então , ou seja, .

Passo 6

Substituindo na integral:

Resposta

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