Calcule o comprimento da curva
Resp.:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma curva definida parametricamente por
para
entre 0 e 1. O objetivo é calcular o comprimento dessa curva no intervalo dado. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de uma curva no espaço tridimensional, que envolve derivadas e integrais.
Passo 2
A fórmula para calcular o comprimento de uma curva paramétrica
de
a
é dada por:
onde
é a derivada da curva em relação a
, e
representa o comprimento do vetor derivada, ou seja, a norma do vetor.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular as derivadas das componentes da curva:
Passo 4
Agora, calculamos a norma da derivada:
Substituindo as derivadas:
Passo 5
Agora, integramos a norma da derivada de
a
:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição
, então
, ou seja,
.
Passo 6
Substituindo na integral:
Resposta
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, com
. Resp.:
.
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.
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