Calcule a integral
em que é a parte da parábola de até . Resp.: 0 .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de linha
onde o caminho é a parte da parábola que vai do ponto até . Para resolver isso, precisamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Vamos precisar verificar se o campo vetorial é conservativo ou usar o Teorema de Green para simplificar o cálculo.

Passo 2

Vamos identificar o campo vetorial da integral dada:
Ou seja, e .

Passo 3

Para verificar se é um campo conservativo, precisamos checar se existe uma função potencial tal que . Uma condição necessária para isso é que as derivadas parciais satisfaçam:
Vamos calcular essas derivadas.

Passo 4

Calculando :
Calculando :
Como , o campo é conservativo.

Passo 5

Como é conservativo, existe uma função potencial tal que:
Mas como já sabemos que o campo é conservativo, a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final.

Passo 6

A integral de linha de um campo conservativo de um ponto a um ponto é:
No nosso caso, os pontos inicial e final estão ambos em , de a . Mas como o caminho está começando e terminando no mesmo valor de , e a função potencial depende apenas desses pontos, a diferença será zero.

Resposta

0

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