Calcule a integral
integralC(x e^x^2+2 x y) d x+(x^2+cos pi y) d y
em que C é a parte da parábola y=x^2 de (-1,1) até (1,1). Resp.: 0 .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de linha
integralC(x e^x^2 + 2xy) dx + (x^2 + cos pi y) dy
onde o caminho é a parte da parábola que vai do ponto até . Para resolver isso, precisamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Vamos precisar verificar se o campo vetorial é conservativo ou usar o Teorema de Green para simplificar o cálculo.

Passo 2

Vamos identificar o campo vetorial F(x, y) = (x e^x^2 + 2xy, x^2 + cos pi y) da integral dada:
Ou seja, e .

Passo 3

Para verificar se partial Ppartial y = partial Qpartial x é um campo conservativo, precisamos checar se existe uma função potencial tal que . Uma condição necessária para isso é que as derivadas parciais satisfaçam:
Vamos calcular essas derivadas.

Passo 4

Calculando partial Ppartial y = partialpartial y ( x e^x^2 + 2xy ) = 2x :
partial Qpartial x = partialpartial x ( x^2 + cos pi y ) = 2x
Calculando :
Como , o campo é conservativo.

Passo 5

Como phi(x, y) = integral P , dx + integral (Q - partial phipartial y) dy é conservativo, existe uma função potencial tal que:
Mas como já sabemos que o campo é conservativo, a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final.

Passo 6

A integral de linha de um campo conservativo de um ponto phi(B) - phi(A) a um ponto é:
No nosso caso, os pontos inicial e final estão ambos em , de a . Mas como o caminho está começando e terminando no mesmo valor de , e a função potencial depende apenas desses pontos, a diferença será zero.

Resposta

0

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