Calcule a integral
em que
é a parte da parábola
de
até
. Resp.: 0 .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de linha
onde o caminho
é a parte da parábola
que vai do ponto
até
. Para resolver isso, precisamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Vamos precisar verificar se o campo vetorial é conservativo ou usar o Teorema de Green para simplificar o cálculo.
Passo 2
Vamos identificar o campo vetorial
da integral dada:
Ou seja,
e
.
Passo 3
Para verificar se
é um campo conservativo, precisamos checar se existe uma função potencial
tal que
. Uma condição necessária para isso é que as derivadas parciais satisfaçam:
Vamos calcular essas derivadas.
Passo 4
Calculando
:
Calculando
:
Como
, o campo
é conservativo.
Passo 5
Como
é conservativo, existe uma função potencial
tal que:
Mas como já sabemos que o campo é conservativo, a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final.
Passo 6
A integral de linha de um campo conservativo de um ponto
a um ponto
é:
No nosso caso, os pontos inicial e final estão ambos em
, de
a
. Mas como o caminho está começando e terminando no mesmo valor de
, e a função potencial depende apenas desses pontos, a diferença será zero.
Resposta
0
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. Resp.:
.
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Resp.:
.
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. Resp.:
.
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. Resp.:
.