Calcule a integral
em que
é segmento de reta que liga o ponto
ao ponto
. Resp.:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral de linha, que é basicamente somar valores ao longo de um caminho específico. No caso, o caminho
é uma reta que vai do ponto
até o ponto
. A gente vai calcular a integral da função
em relação a
mais a função
em relação a
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais de linha e campos vetoriais conservativos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que estamos integrando. Temos uma expressão do tipo
, onde:
e
A ideia é verificar se esse campo vetorial é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial
tal que:
Passo 3
Para saber se o campo é conservativo, precisamos verificar se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
. Isso porque, se
, então o campo é conservativo.
Vamos calcular:
Como
, o campo é conservativo.
Passo 4
Legal, já sabemos que o campo é conservativo, então existe uma função potencial
tal que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Simplificando:
Agora, para encontrar
, usamos:
Calculando a derivada de
em relação a
:
Igualando a
:
Isso implica que:
Integrando em relação a
:
Para simplificar, podemos ignorar a constante
já que será cancelada na diferença.
Passo 5
Agora que temos a função potencial
, podemos calcular a integral de linha simplesmente avaliando essa função nos pontos finais do caminho
.
Os pontos são:
- Ponto inicial:
- Ponto final:
Então:
Vamos calcular
:
E
:
A constante se cancela, então:
Além disso, considerando o termo de
integrado, temos um adicional de
.