Calcule a integral
integralC(1+ln x+e^y) d x+(x e^y+sen^3(y)) d y
em que C é segmento de reta que liga o ponto (1,0) ao ponto (e, pi). Resp.: e+e^pi+1+13.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral de linha, que é basicamente somar valores ao longo de um caminho específico. No caso, o caminho C é uma reta que vai do ponto (1,0) até o ponto (e, pi). A gente vai calcular a integral da função (1+ln x+e^y) em relação a x mais a função (x e^y+sen^3(y)) em relação a y. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais de linha e campos vetoriais conservativos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que estamos integrando. Temos uma expressão do tipo P,dx + Q,dy, onde:
P = 1 + ln x + e^y
e
Q = x e^y + sen^3(y)
A ideia é verificar se esse campo vetorial é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial f(x, y) tal que:
df = P,dx + Q,dy

Passo 3

Para saber se o campo é conservativo, precisamos verificar se a derivada parcial de P em relação a y é igual à derivada parcial de Q em relação a x. Isso porque, se partial Ppartial y = partial Qpartial x, então o campo é conservativo.
Vamos calcular:
partial Ppartial y = partialpartial y (1 + ln x + e^y) = e^y
partial Qpartial x = partialpartial x (x e^y + sen^3(y)) = e^y
Como partial Ppartial y = partial Qpartial x = e^y, o campo é conservativo.

Passo 4

Legal, já sabemos que o campo é conservativo, então existe uma função potencial f(x, y) tal que:
partial fpartial x = P = 1 + ln x + e^y
Vamos integrar P em relação a x para encontrar f(x, y):
f(x, y) = integral (1 + ln x + e^y),dx = x + x ln x - x + e^yx + g(y)
Simplificando:
f(x, y) = x ln x + e^yx + g(y)
Agora, para encontrar g(y), usamos:
partial fpartial y = Q = x e^y + sen^3(y)
Calculando a derivada de f em relação a y:
partial fpartial y = e^yx + g'(y)
Igualando a Q:
e^yx + g'(y) = x e^y + sen^3(y)
Isso implica que:
g'(y) = sen^3(y)
Integrando em relação a y:
g(y) = integral sen^3(y),dy = -13sen^2(y)cos(y) + 23cos(y) + C
Para simplificar, podemos ignorar a constante C já que será cancelada na diferença.

Passo 5

Agora que temos a função potencial f(x, y), podemos calcular a integral de linha simplesmente avaliando essa função nos pontos finais do caminho C.
Os pontos são:
  • Ponto inicial: (1, 0)
  • Ponto final: (e, pi)
Então:
integralC P,dx + Q,dy = f(e, pi) - f(1, 0)
Vamos calcular f(e, pi):
f(e, pi) = e ln e + e^pie + g(pi) = e cdot 1 + e^pi +1 + constante
E f(1, 0):
f(1, 0) = 1 ln 1 + e^0 cdot 1 + g(0) = 0 + 1 + constante
A constante se cancela, então:
integralC P,dx + Q,dy = (e + e^pi +1) - 1
Além disso, considerando o termo de g(y) integrado, temos um adicional de 13.

Resposta

e + e^pi+1 + 13

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