Desenhe a trajetória das curvas:
gamma(t) = (t, t^3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para desenharmos a trajetória da curva definida por . Isso está ligado ao conteúdo de Geometria Analítica, especificamente ao estudo de curvas parametrizadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar essa representação paramétrica em uma forma que a gente possa desenhar facilmente no gráfico, além de conhecer como diferentes valores de influenciam a posição da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações paramétricas da curva. A função nos dá duas equações:
Isso significa que para cada valor de , temos um ponto onde é igual a e é igual a elevado ao cubo.

Passo 3

Para facilitar o desenho, vamos tentar eliminar o parâmetro e encontrar uma relação direta entre e . Como , podemos substituir por na segunda equação:
Agora temos a equação , que é uma função comum que podemos facilmente desenhar.

Passo 4

Vamos entender como essa função se comporta. A curva é uma função cúbica. Essa função tem algumas características:
  • Passa pela origem .
  • Para positivos, é positivo e aumenta rapidamente.
  • Para negativos, é negativo e diminui rapidamente.
  • Não tem máximos ou mínimos locais, mas tem um ponto de inflexão na origem.

Passo 5

Agora, vamos desenhar a curva. Começamos plotando alguns pontos para ter uma ideia:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Conectando esses pontos, vemos que a curva sobe rapidamente à medida que aumenta e desce rapidamente à medida que diminui, formando uma espécie de “S” vertical.

Passo 6

Finalmente, representamos graficamente a função . A curva começa na parte inferior esquerda, passa pela origem e vai para a parte superior direita, refletindo o comportamento crescente da função cúbica.

Resposta

A trajetória da curva é a gráfica da função cúbica , que passa pela origem, sobe rapidamente nos quadrantes I e III, formando uma curva em “S” vertical.

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