Desenhe a trajetória das curvas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para desenharmos a trajetória da curva definida por
. Isso está ligado ao conteúdo de Geometria Analítica, especificamente ao estudo de curvas parametrizadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar essa representação paramétrica em uma forma que a gente possa desenhar facilmente no gráfico, além de conhecer como diferentes valores de
influenciam a posição da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações paramétricas da curva. A função
nos dá duas equações:
Isso significa que para cada valor de
, temos um ponto
onde
é igual a
e
é igual a
elevado ao cubo.
Passo 3
Para facilitar o desenho, vamos tentar eliminar o parâmetro
e encontrar uma relação direta entre
e
. Como
, podemos substituir
por
na segunda equação:
Agora temos a equação
, que é uma função comum que podemos facilmente desenhar.
Passo 4
Vamos entender como essa função se comporta. A curva
é uma função cúbica. Essa função tem algumas características:
- Passa pela origem
. - Para
positivos, é positivo e aumenta rapidamente. - Para
negativos, é negativo e diminui rapidamente. - Não tem máximos ou mínimos locais, mas tem um ponto de inflexão na origem.
Passo 5
Agora, vamos desenhar a curva. Começamos plotando alguns pontos para ter uma ideia:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Conectando esses pontos, vemos que a curva sobe rapidamente à medida que
aumenta e desce rapidamente à medida que
diminui, formando uma espécie de “S” vertical.
Passo 6
Finalmente, representamos graficamente a função
. A curva começa na parte inferior esquerda, passa pela origem e vai para a parte superior direita, refletindo o comportamento crescente da função cúbica.
Resposta
A trajetória da curva
é a gráfica da função cúbica
, que passa pela origem, sobe rapidamente nos quadrantes I e III, formando uma curva em “S” vertical.