Calcule o comprimento da curva

Passo 1

No exercício, precisamos calcular o comprimento da curva definida pela função vetorial no intervalo de de 0 a 4. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo, especificamente a fórmula para o comprimento de uma curva paramétrica. Precisamos calcular a derivada de , encontrar a norma dessa derivada e então integrar essa norma de a .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a . A função vetorial é:
A derivada será:

Passo 3

Em seguida, encontramos a norma da derivada . A fórmula para a norma de um vetor é:
Aplicando isso ao nosso :

Passo 4

Agora, para encontrar o comprimento da curva, integramos a norma de de a :

Passo 5

Simplificamos a expressão dentro da raiz quadrada:
Para resolver essa integral, podemos completar o quadrado ou usar uma substituição apropriada. Após os cálculos necessários, obtemos:

Resposta

O comprimento da curva é .

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-Questão Extra (A questão vale 2 pontos)
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Considerando as soluções não-triviais das equações abaixo, determine (quando possível) os limites .
(a)
Considere os PVIs abaixo:
I) ,
II) .
b) Determine o valor de para que a solução de II se aproxime de zero quando .