Calcule o comprimento da curva
Passo 1
No exercício, precisamos calcular o comprimento da curva definida pela função vetorial
no intervalo de
de 0 a 4. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo, especificamente a fórmula para o comprimento de uma curva paramétrica. Precisamos calcular a derivada de
, encontrar a norma dessa derivada e então integrar essa norma de
a
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em relação a
. A função vetorial é:
A derivada
será:
Passo 3
Em seguida, encontramos a norma da derivada
. A fórmula para a norma de um vetor
é:
Aplicando isso ao nosso
:
Passo 4
Agora, para encontrar o comprimento da curva, integramos a norma de
de
a
:
Passo 5
Simplificamos a expressão dentro da raiz quadrada:
Para resolver essa integral, podemos completar o quadrado ou usar uma substituição apropriada. Após os cálculos necessários, obtemos:
Resposta
O comprimento da curva é
.