Considere os PVIs abaixo:
I)
,
II)
.
b) Determine o valor de
para que a solução de II se aproxime de zero quando
.
I)
II)
b) Determine o valor de
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois Problemas de Valor Inicial (PVIs). No segundo PVI, a equação diferencial é
com as condições iniciais
e
. Queremos descobrir o valor de
que faz com que a solução dessa equação se aproxime de zero quando
tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as soluções das equações diferenciais homogêneas e entender como os coeficientes das soluções influenciam o comportamento assintótico.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea
. Para isso, assumimos uma solução da forma
. Substituindo na equação, temos:
Dividindo ambos os lados por
(que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Passo 3
Resolvendo a equação característica
, encontramos os valores de
:
Então, as raízes são
e
.
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.
Passo 5
Aplicando a condição inicial
:
Ou seja:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a derivada de
para aplicar a segunda condição inicial:
Aplicando
:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Passo 7
Agora temos um sistema de duas equações:
Somando as duas equações:
Dividindo por 2:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Dividindo por 2:
Passo 8
Agora, substituímos
e
na solução geral:
Passo 9
Para que
se aproxime de zero quando
, precisamos que o termo com
não cresça sem limites. Isso só é possível se o coeficiente desse termo for zero:
Passo 10
Resolvendo
:
Resposta
Exercícios relacionados
Considerando as soluções não-triviais das equações abaixo, determine (quando possível) os limites
.
(a)
(a)
Calcule o comprimento da curva
Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias de primeira ordem:
Sabendo que
é uma solução da equação
use redução de ordem para encontrar uma segunda solução
.