Considere os PVIs abaixo:
I) y'' - y' - 2y = 0, y(0) = alpha, y'(0) = 2,
II) 4 x'' - x = 0, x(0) = 2, x'(0) = beta.
b) Determine o valor de beta para que a solução de II se aproxime de zero quando t -> infinito.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois Problemas de Valor Inicial (PVIs). No segundo PVI, a equação diferencial é com as condições iniciais e . Queremos descobrir o valor de que faz com que a solução dessa equação se aproxime de zero quando tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as soluções das equações diferenciais homogêneas e entender como os coeficientes das soluções influenciam o comportamento assintótico.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea . Para isso, assumimos uma solução da forma . Substituindo na equação, temos:
Dividindo ambos os lados por (que nunca é zero), obtemos a equação característica:

Passo 3

Resolvendo a equação característica , encontramos os valores de :
Então, as raízes são e .

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.

Passo 5

Aplicando a condição inicial :
Ou seja:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a derivada de para aplicar a segunda condição inicial:
Aplicando :
Multiplicando ambos os lados por 2:

Passo 7

Agora temos um sistema de duas equações:
Somando as duas equações:
Dividindo por 2:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Dividindo por 2:

Passo 8

Agora, substituímos e na solução geral:

Passo 9

Para que se aproxime de zero quando , precisamos que o termo com não cresça sem limites. Isso só é possível se o coeficiente desse termo for zero:

Passo 10

Resolvendo :

Resposta

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