Calcule
onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de uma função vetorial quando
se aproxima de 1. A função é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites de funções componentes e aplicar algumas técnicas de cálculo, como a regra de L’Hôpital.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada componente da função vetorial separadamente. A função
tem três componentes: uma na direção
, outra em
e uma terceira em
.
Passo 3
Componente em
:
Vamos simplificar essa expressão. Note que o numerador pode ser fatorado:
Então, substituindo:
Portanto, a expressão simplifica para
. Agora, calculamos o limite quando
se aproxima de 1:
Passo 4
Componente em
:
Calcular o limite é direto, pois a função raiz é contínua:
Passo 5
Componente em
:
Ao substituir
, temos:
Isso é uma indeterminação do tipo
, então podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que diz que:
Calculando as derivadas:
Então, o limite fica:
Substituindo
:
Resposta
Exercícios relacionados
-Questão Extra (A questão vale 2 pontos)
Calcule os ângulos formados pelo gradiente de no ponto
com os eixos coordenados.
Calcule os ângulos formados pelo gradiente de
Seja
e
. Calcule
de duas maneiras:
Encontrando a composição e, em seguida, diferenciando.
Encontrando a composição e, em seguida, diferenciando.
Calcule o comprimento da curva
Considerando as soluções não-triviais das equações abaixo, determine (quando possível) os limites
.
(a)
(a)