Calcule lim t 1 barf(t) onde barf(t)=t^2-tt-1 i+raizt+8 j+sen pi tln t k=2 1+3 jmath

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de uma função vetorial quando barf(t) = t^2 - tt - 1 , i + raizt + 8 , j + sin(pi t)ln t , k se aproxima de 1. A função é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites de funções componentes e aplicar algumas técnicas de cálculo, como a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada componente da função vetorial separadamente. A função tem três componentes: uma na direção , outra em e uma terceira em .

Passo 3

Componente em t^2 - tt - 1 :
t^2 - t = t(t - 1)
Vamos simplificar essa expressão. Note que o numerador pode ser fatorado:
t(t - 1)t - 1 = t
Então, substituindo:
limt to 1 t = 1
Portanto, a expressão simplifica para . Agora, calculamos o limite quando se aproxima de 1:

Passo 4

Componente em raizt + 8 :
limt to 1 raiz1 + 8 = raiz9 = 3
Calcular o limite é direto, pois a função raiz é contínua:

Passo 5

Componente em sin(pi t)ln t :
sin(pi cdot 1)ln 1 = 00
Ao substituir limt to a f(t)g(t) = limt to a f'(t)g'(t) , temos:
f(t) = sin(pi t) Rightarrow f'(t) = pi cos(pi t)
Isso é uma indeterminação do tipo g(t) = ln t Rightarrow g'(t) = 1t , então podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que diz que:
limt to 1 pi cos(pi t)1t = limt to 1 pi t cos(pi t)
Calculando as derivadas:
pi cdot 1 cdot cos(pi cdot 1) = pi cdot (-1) = -pi
Então, o limite fica:
Substituindo :

Resposta

limt to 1 barf(t) = 1 , i + 3 , j - pi , k

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