Calcule onde

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de uma função vetorial quando se aproxima de 1. A função é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites de funções componentes e aplicar algumas técnicas de cálculo, como a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada componente da função vetorial separadamente. A função tem três componentes: uma na direção , outra em e uma terceira em .

Passo 3

Componente em :
Vamos simplificar essa expressão. Note que o numerador pode ser fatorado:
Então, substituindo:
Portanto, a expressão simplifica para . Agora, calculamos o limite quando se aproxima de 1:

Passo 4

Componente em :
Calcular o limite é direto, pois a função raiz é contínua:

Passo 5

Componente em :
Ao substituir , temos:
Isso é uma indeterminação do tipo , então podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que diz que:
Calculando as derivadas:
Então, o limite fica:
Substituindo :

Resposta

Exercícios relacionados

-Questão Extra (A questão vale 2 pontos)
Calcule os ângulos formados pelo gradiente de no ponto com os eixos coordenados.
Seja e . Calcule de duas maneiras:
Encontrando a composição e, em seguida, diferenciando.
Calcule o comprimento da curva
Considerando as soluções não-triviais das equações abaixo, determine (quando possível) os limites .
(a)