Considerando as soluções não-triviais das equações abaixo, determine (quando possível) os limites .
(a)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
O objetivo é encontrar as soluções não-triviais dessa equação e determinar os limites de quando tende a menos infinito e a mais infinito. Para isso, vamos precisar resolver a equação diferencial e analisar o comportamento das soluções.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial dada. A equação característica é uma equação quadrática que nos ajuda a encontrar as soluções da equação diferencial. Para uma equação da forma:
A equação característica é:
No nosso caso, , e . Então, a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática:
Podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes dessa equação:
Substituindo os valores:

Passo 4

Calculando as raízes:
Então, temos duas raízes reais e distintas: e .

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo os valores de e :
Aqui, e são constantes que dependem das condições iniciais do problema.

Passo 6

Agora, vamos analisar os limites de quando tende a e a .
  1. Quando :
    • cresce exponencialmente para .
    • também cresce exponencialmente para .
    Portanto, a soma dessas duas funções exponenciais tende a (ou se e forem negativos).
  2. Quando :
    • tende a 0.
    • também tende a 0.
    Portanto, tende a 0.

Resposta

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I) ,
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b) Determine o valor de para que a solução de II se aproxime de zero quando .
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