Considerando as soluções não-triviais das equações abaixo, determine (quando possível) os limites
.
(a)
(a)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
O objetivo é encontrar as soluções não-triviais dessa equação e determinar os limites de
quando
tende a menos infinito e a mais infinito. Para isso, vamos precisar resolver a equação diferencial e analisar o comportamento das soluções.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial dada. A equação característica é uma equação quadrática que nos ajuda a encontrar as soluções da equação diferencial. Para uma equação da forma:
A equação característica é:
No nosso caso,
,
e
. Então, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática:
Podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes dessa equação:
Substituindo os valores:
Passo 4
Calculando as raízes:
Então, temos duas raízes reais e distintas:
e
.
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo os valores de
e
:
Aqui,
e
são constantes que dependem das condições iniciais do problema.
Passo 6
Agora, vamos analisar os limites de
quando
tende a
e a
.
-
Quando
: -
cresce exponencialmente para . -
também cresce exponencialmente para .
Portanto, a soma dessas duas funções exponenciais tende a(ou se e forem negativos). -
-
Quando
: -
tende a 0. -
também tende a 0.
Portanto,tende a 0. -
Resposta
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Calcule o comprimento da curva
Calcule
onde
Considere os PVIs abaixo:
I) ,
II) .
b) Determine o valor de para que a solução de II se aproxime de zero quando
.
I)
II)
b) Determine o valor de
Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias de primeira ordem: