Considerando as soluções não-triviais das equações abaixo, determine (quando possível) os limites lim t -infty y(t) e lim t infty y(t).
(a) 6 y^prime prime-7 y^prime+2 y=0

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
6 y'' - 7 y' + 2 y = 0
O objetivo é encontrar as soluções não-triviais dessa equação e determinar os limites de quando tende a menos infinito e a mais infinito. Para isso, vamos precisar resolver a equação diferencial e analisar o comportamento das soluções.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial dada. A equação característica é uma equação quadrática que nos ajuda a encontrar as soluções da equação diferencial. Para uma equação da forma:
a y'' + b y' + c y = 0
A equação característica é:
a r^2 + b r + c = 0
No nosso caso, 6 r^2 - 7 r + 2 = 0 , e . Então, a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática:
6 r^2 - 7 r + 2 = 0
Podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes dessa equação:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Substituindo os valores:
r = 7 pm raiz(-7)^2 - 4 cdot 6 cdot 22 cdot 6
r = 7 pm raiz49 - 4812
r = 7 pm raiz112

Passo 4

Calculando as raízes:
r = 7 + 112 = 812 = 23
r = 7 - 112 = 612 = 12
Então, temos duas raízes reais e distintas: e .

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t
Substituindo os valores de y(t) = C1 e^23 t + C2 e^12 t e :
Aqui, e são constantes que dependem das condições iniciais do problema.

Passo 6

Agora, vamos analisar os limites de quando tende a e a .
  1. Quando :
    • cresce exponencialmente para .
    • também cresce exponencialmente para .
    Portanto, a soma dessas duas funções exponenciais tende a (ou se e forem negativos).
  2. Quando :
    • tende a 0.
    • também tende a 0.
    Portanto, tende a 0.

Resposta

limt -infty y(t) = 0 e limt +infty y(t) = +infty (ou -infty , dependendo dos valores de C1 e C2)

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