Use o teste da razão para determinar se a série a seguir é convergente ou divergente.
sumk=1^infty 4^k(2 k)!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o Teste da Razão para descobrir se a série
sumk=1^infty 4^k(2 k)!
converge ou diverge. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo de Séries Infinitas. Para resolver, a gente vai precisar lembrar como funciona o Teste da Razão e aplicar ele na série dada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série infinita analisando a razão entre termos consecutivos. A regra é a seguinte:
Para uma série da forma L = limk to infty | ak+1ak | , calculamos:
  • Se , a série converge.
  • Se ou , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Agora, vamos aplicar isso à nossa série onde .

Passo 3

Vamos calcular a razão ak+1ak = 4^k+1(2(k+1))! div 4^k(2k)! = 4^k+1(2k+2)! times (2k)!4^k = 4 times (2k)!(2k+2)! :
(2k)!(2k+2)! = (2k)!(2k+2)(2k+1)(2k)! = 1(2k+2)(2k+1)
Agora, vamos simplificar ak+1ak = 4 times 1(2k+2)(2k+1) = 4(2k+2)(2k+1) :
Então, a razão fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando L = limk to infty 4(2k+2)(2k+1) vai para o infinito:
(2k+2)(2k+1) = 4k^2 + 6k + 2 approx 4k^2 quando k é grande
Vamos analisar o denominador:
L approx limk to infty 44k^2 = limk to infty 1k^2 = 0 é
Então, podemos aproximar:
Como , pelo Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série converge pelo Teste da Razão, já que o limite da razão entre termos consecutivos é menor que 1.

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