Calcule o comprimento da curva , em coordenadas polares.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para calcular o comprimento da curva definida por no intervalo de usando coordenadas polares. Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco em coordenadas polares, que é essencial para medir distâncias de curvas nesse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de uma curva em coordenadas polares. A fórmula é:
Aqui, é a função que define a curva, e é a derivada dessa função em relação a .
Passo 3
No nosso caso, a função dada é . Vamos calcular a derivada de em relação a :
Passo 4
Agora, substituímos e na fórmula do comprimento do arco:
Passo 5
Simplificamos a expressão dentro da raiz:
Isso porque é uma identidade trigonométrica fundamental.
Passo 6
Com essa simplificação, a integral fica mais fácil: