Calcule o comprimento da curva , em coordenadas polares.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para calcular o comprimento da curva definida por no intervalo de usando coordenadas polares. Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco em coordenadas polares, que é essencial para medir distâncias de curvas nesse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de uma curva em coordenadas polares. A fórmula é:
Aqui, é a função que define a curva, e é a derivada dessa função em relação a .

Passo 3

No nosso caso, a função dada é . Vamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos e na fórmula do comprimento do arco:

Passo 5

Simplificamos a expressão dentro da raiz:
Isso porque é uma identidade trigonométrica fundamental.

Passo 6

Com essa simplificação, a integral fica mais fácil:

Passo 7

Agora, calculamos a integral:

Resposta

O comprimento da curva é unidades.

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