Determine o valor médio da função f(x, y, z) = x + y + z sobre o tetraedro com vértices (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor médio da função sobre um tetraedro específico, que é um sólido de quatro faces com vértices em , , e . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais múltiplas e o cálculo de média de funções em regiões tridimensionais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o valor médio de uma função em uma região é dado pela integral da função aplicada sobre essa região, dividida pelo volume dessa região. Matemáticamente, isso é expresso como:
é
Onde é o volume do tetraedro e representa a integral tripla sobre a região do tetraedro.

Passo 3

Vamos começar calculando o volume do tetraedro. Um tetraedro com vértices em , , e é um tetraedro regular com todas as arestas de comprimento 1. O volume de um tetraedro é dado pela fórmula:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral tripla da função sobre o tetraedro . Para isso, vamos definir os limites de integração. Observando os vértices, percebemos que , e variam de 0 a 1, mas estão ligados pela condição .
Assim, podemos escrever os limites de integração da seguinte maneira:

Passo 5

Vamos configurar a integral tripla:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 6

Primeiro, resolvemos a integral em relação a :
Substituindo os limites:
Simplificando:

Passo 7

Agora, integramos em relação a :
Isso requer expansão e simplificação dos termos antes de integrar, o que levará algum tempo, mas seguiremos adiante.

Passo 8

Após simplificar e integrar em relação a , obteremos uma expressão em termos de . Em seguida, integramos essa expressão em relação a no intervalo de 0 a 1.

Passo 9

Finalmente, calculando todas as integrais, chegamos ao resultado da integral tripla:

Resposta

O valor médio da função sobre o tetraedro é .

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