Determine
valor médio da função
sobre o tetraedro com vértices
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor médio da função
sobre um tetraedro específico, que é um sólido de quatro faces com vértices em
,
,
e
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais múltiplas e o cálculo de média de funções em regiões tridimensionais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o valor médio de uma função em uma região é dado pela integral da função aplicada sobre essa região, dividida pelo volume dessa região. Matemáticamente, isso é expresso como:
Onde
é o volume do tetraedro
e
representa a integral tripla sobre a região do tetraedro.
Passo 3
Vamos começar calculando o volume
do tetraedro. Um tetraedro com vértices em
,
,
e
é um tetraedro regular com todas as arestas de comprimento 1. O volume de um tetraedro é dado pela fórmula:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral tripla da função
sobre o tetraedro
. Para isso, vamos definir os limites de integração. Observando os vértices, percebemos que
,
e
variam de 0 a 1, mas estão ligados pela condição
.
Assim, podemos escrever os limites de integração da seguinte maneira:
Passo 5
Vamos configurar a integral tripla:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 6
Primeiro, resolvemos a integral em relação a
:
Substituindo os limites:
Simplificando:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
Isso requer expansão e simplificação dos termos antes de integrar, o que levará algum tempo, mas seguiremos adiante.
Passo 8
Após simplificar e integrar em relação a
, obteremos uma expressão em termos de
. Em seguida, integramos essa expressão em relação a
no intervalo de 0 a 1.
Passo 9
Finalmente, calculando todas as integrais, chegamos ao resultado da integral tripla:
Resposta
O valor médio da função
sobre o tetraedro é
.
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, em coordenadas polares.
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