Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo , do conjunto de todos os pares tais que

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido que é formado ao girar em torno do eixo o conjunto de todos os pares que satisfazem e . Vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos ou anéis, para encontrar esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa girar a região em torno do eixo . Quando fazemos isso, cada pequeno pedaço da área vira um anel (ou disco) cujo raio varia conforme a função .

Passo 3

Vamos identificar as funções que definem os limites superior e inferior da região:
  • Limite superior:
  • Limite inferior:
Essas funções serão usadas para determinar os raios dos discos.

Passo 4

O método dos anéis nos diz que o volume é dado por:
onde:
  • é a função superior ( )
  • é a função inferior ( )
  • e são os limites de integração ( e )

Passo 5

Vamos substituir as funções e os limites na fórmula:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo por termo:
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos calcular nos limites de 1 a 2:
Para :
Para :

Passo 8

Subtraindo os valores:
Multiplicando por :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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