Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os pares
tais que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido que é formado ao girar em torno do eixo
o conjunto de todos os pares
que satisfazem
e
. Vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos ou anéis, para encontrar esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa girar a região em torno do eixo
. Quando fazemos isso, cada pequeno pedaço da área vira um anel (ou disco) cujo raio varia conforme a função
.
Passo 3
Vamos identificar as funções que definem os limites superior e inferior da região:
- Limite superior:
- Limite inferior:
Essas funções serão usadas para determinar os raios dos discos.
Passo 4
O método dos anéis nos diz que o volume
é dado por:
onde:
-
é a função superior ( ) -
é a função inferior ( ) -
e são os limites de integração ( e )
Passo 5
Vamos substituir as funções e os limites na fórmula:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo por termo:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos calcular nos limites de 1 a 2:
Para
:
Para
:
Passo 8
Subtraindo os valores:
Multiplicando por
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais:
Calcule o comprimento da curva
, em coordenadas polares.
Calcule as integrais:
Determine se as séries a seguir convergem ou divergem.
.