Calcule as integrais: integral0^raiz2 t raiz1+4 t^2 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integrais que envolvem substituição. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição -substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável u = 1 + 4t^2 . Olhando para a expressão , parece uma boa candidata. Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudt = 8t Rightarrow du = 8t , dt em relação a t , dt = du8 para substituir na integral. Calculando a derivada:
Rearranjando para :

Passo 4

Substituímos integral t raiz1 + 4t^2 , dt = integral raizu cdot du8 = 18 integral u^1/2 , du e na integral original:

Passo 5

Agora, vamos integrar 18 integral u^1/2 , du = 18 cdot 23 u^3/2 + C = 112 u^3/2 + C em relação a :

Passo 6

Substituímos 112 u^3/2 + C = 112 (1 + 4t^2)^3/2 + C de volta para a variável original :

Passo 7

Como estamos calculando uma integral definida de [ 112 (1 + 4t^2)^3/2 ]0^raiz2 a , não precisamos da constante . Vamos aplicar os limites de integração:

Passo 8

Calculamos nos limites superiores e inferiores:
Para 1 + 4(raiz2)^2 = 1 + 4 cdot 2 = 9 Rightarrow 9^3/2 = 27 :
1 + 4(0)^2 = 1 Rightarrow 1^3/2 = 1
Para :

Passo 9

Subtraímos os valores obtidos:
112 (27 - 1) = 112 cdot 26 = 136

Resposta

O valor da integral é .

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