Calcule as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve a função cosseno e a raiz quadrada de
. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição e integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos definir
. Isso significa que
. Agora, precisamos encontrar
em termos de
:
Passo 3
Substituindo
por
e
por
na integral original, temos:
Aqui, os limites de integração mudaram porque quando
,
, e quando
,
.
Passo 4
Agora, a integral ficou:
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
Passo 5
Vamos identificar
e
para aplicar a integração por partes:
Calculando
e
:
Passo 6
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Calculando a segunda integral:
Portanto:
Passo 7
Voltando à nossa integral original:
Agora, substituímos os limites de integração:
Passo 8
Calculando cada parte:
Substituindo:
Resposta
O valor da integral é
.
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Determine, mas não calcule, expressões integrais para (a) a massa, (b) o centro de massa, e © o momento de inércia em relação ao eixo
do sólido limitado pelo paraboloide
e pelo plano
com função densidade
Calcule a área da região limitada pelas retas
e pela curva
.
Determine
valor médio da função
sobre o tetraedro com vértices
e
.
Calcule o comprimento da curva
, em coordenadas polares.