Calcule as integrais: integral0^pi^2 cos raizt d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve a função cosseno e a raiz quadrada de . Para resolver isso, vamos precisar usar substituição e integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos definir dt = 2u , du . Isso significa que . Agora, precisamos encontrar em termos de :

Passo 3

Substituindo integral0^pi^2 cos raizt , dt = integral0^pi cos u cdot 2u , du por e por na integral original, temos:
Aqui, os limites de integração mudaram porque quando , , e quando , .

Passo 4

Agora, a integral ficou:
2 integral0^pi u cos u , du
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du

Passo 5

Vamos identificar u = u dv = cos u , du e du = du v = integral cos u , du = sin u para aplicar a integração por partes:
Calculando e :

Passo 6

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u cos u , du = u sin u - integral sin u , du
Calculando a segunda integral:
integral sin u , du = -cos u
Portanto:
integral u cos u , du = u sin u + cos u

Passo 7

Voltando à nossa integral original:
2 integral0^pi u cos u , du = 2 [ u sin u + cos u ]0^pi
Agora, substituímos os limites de integração:
2 [ (pi sin pi + cos pi) - (0 cdot sin 0 + cos 0) ]

Passo 8

Calculando cada parte:
sin pi = 0 cos pi = -1 sin 0 = 0 cos 0 = 1
Substituindo:
2 [ (0 + (-1)) - (0 + 1) ] = 2 [ -1 - 1 ] = 2 cdot (-2) = -4

Resposta

O valor da integral é .

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