Usando a Função Gamma, mostre que
integral0^infty e^-x^p d x=1p Gamma(1p), p>0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que a integral de de 0 até infinito é igual a . Para isso, vamos usar a Função Gamma, que é uma ferramenta poderosa em cálculo para resolver integrais desse tipo. Vamos precisar entender como a Função Gamma é definida e como ela se relaciona com integrais envolvendo exponenciais e potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a definição da Função Gamma. Ela é definida por:
Gamma(z) = integral0^infty t^z-1 e^-t dt
onde é um número complexo com parte real positiva. No nosso caso, queremos relacionar essa definição com a integral que temos.

Passo 3

Vamos fazer uma mudança de variável para adaptar nossa integral à forma da Função Gamma. Vamos definir:
t = x^p
Isso significa que:
x = t^1/p
E derivando ambos os lados em relação a dx = 1p t^1p - 1 dt :

Passo 4

Substituindo essas expressões na nossa integral original integral0^infty e^-t cdot 1p t^1p - 1 dt , ficamos com:
Isso porque e .

Passo 5

Observe que a integral resultante:
1p integral0^infty t^1p - 1 e^-t dt
é exatamente a definição da Função Gamma para Gamma(1p) = integral0^infty t^1p - 1 e^-t dt . Ou seja:

Passo 6

Portanto, substituindo de volta, temos:
integral0^infty e^-x^p dx = 1p Gamma(1p)

Resposta

integral0^infty e^-x^p dx = 1p Gamma(1p)

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