Usando a Função Gamma, mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que a integral de
de 0 até infinito é igual a
. Para isso, vamos usar a Função Gamma, que é uma ferramenta poderosa em cálculo para resolver integrais desse tipo. Vamos precisar entender como a Função Gamma é definida e como ela se relaciona com integrais envolvendo exponenciais e potências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a definição da Função Gamma. Ela é definida por:
onde
é um número complexo com parte real positiva. No nosso caso, queremos relacionar essa definição com a integral que temos.
Passo 3
Vamos fazer uma mudança de variável para adaptar nossa integral à forma da Função Gamma. Vamos definir:
Isso significa que:
E derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 4
Substituindo essas expressões na nossa integral original
, ficamos com:
Isso porque
e
.
Passo 5
Observe que a integral resultante:
é exatamente a definição da Função Gamma para
. Ou seja:
Passo 6
Portanto, substituindo de volta, temos:
Resposta
Exercícios relacionados
Usando a Função Gamma, calcule as integrais.
i)
i)
Dado
, mostre que
Determine
onde
e
.
Calcule o comprimento da curva
.