Usando a Função Gamma, mostre que

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que a integral de de 0 até infinito é igual a . Para isso, vamos usar a Função Gamma, que é uma ferramenta poderosa em cálculo para resolver integrais desse tipo. Vamos precisar entender como a Função Gamma é definida e como ela se relaciona com integrais envolvendo exponenciais e potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a definição da Função Gamma. Ela é definida por:
onde é um número complexo com parte real positiva. No nosso caso, queremos relacionar essa definição com a integral que temos.

Passo 3

Vamos fazer uma mudança de variável para adaptar nossa integral à forma da Função Gamma. Vamos definir:
Isso significa que:
E derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Substituindo essas expressões na nossa integral original , ficamos com:
Isso porque e .

Passo 5

Observe que a integral resultante:
é exatamente a definição da Função Gamma para . Ou seja:

Passo 6

Portanto, substituindo de volta, temos:

Resposta

Exercícios relacionados

Usando a Função Gamma, calcule as integrais.
i)
Dado , mostre que
Determine onde e .
Calcule o comprimento da curva .