Calcule o comprimento da curva.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o comprimento da curva definida por onde varia de a . Estamos lidando com **cálculo vetorial**, especificamente com o **comprimento de curvas paramétricas**. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco para curvas no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula que usamos para encontrar o comprimento de uma curva paramétrica. Se tivermos uma curva dada por , o comprimento dessa curva de até é dado por:
Essa fórmula basicamente soma infinitesimais de comprimento ao longo da curva para obter o comprimento total.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa fórmula à nossa curva específica . Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de cada componente em relação a :
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o quadrado de cada uma dessas derivadas:
Passo 5
Agora, somamos esses quadrados para usar na fórmula do comprimento:
Perceba que , então podemos simplificar:
Passo 6
Agora, substituímos essa soma na fórmula do comprimento:
Como é uma constante em relação a , podemos tirar da integral:
Passo 7
Calculando a integral simples:
Então, o comprimento da curva fica:
Resposta
O comprimento da curva é .
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Nos exercícios 12 a 34, calcular as integrais.
26.
Inverta a ordem de integração
.
Calcule a curvatura: ;