Calcule o comprimento da curva. r(t) = (a sen(t), a cos(t), b), t ∈ [0, 2 pi];

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento da curva definida por para variando de a . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente o cálculo de comprimento de curva usando integrais. Para isso, vamos precisar derivar a função e usar a fórmula do comprimento de arco.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a . A derivada de uma função vetorial nos dá a velocidade da curva em cada ponto.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a magnitude dessa derivada, que representa a velocidade instantânea da curva:
Sabemos que , então:

Passo 4

Com a magnitude da derivada constante, o comprimento da curva é simplesmente a integral dessa magnitude no intervalo dado:

Passo 5

Vamos resolver a integral:

Resposta

O comprimento da curva é .

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