Calcule o comprimento da curva.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento da curva definida por
para
variando de
a
. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente o cálculo de comprimento de curva usando integrais. Para isso, vamos precisar derivar a função
e usar a fórmula do comprimento de arco.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em relação a
. A derivada de uma função vetorial nos dá a velocidade da curva em cada ponto.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a magnitude dessa derivada, que representa a velocidade instantânea da curva:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Com a magnitude da derivada constante, o comprimento da curva é simplesmente a integral dessa magnitude no intervalo dado:
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Resposta
O comprimento da curva é
.