Calcule o comprimento da curva.
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento da curva definida por
para
variando de
a
. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente o cálculo de comprimento de curva usando integrais. Para isso, vamos precisar derivar a função
e usar a fórmula do comprimento de arco.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em relação a
. A derivada de uma função vetorial nos dá a velocidade da curva em cada ponto.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a magnitude dessa derivada, que representa a velocidade instantânea da curva:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Com a magnitude da derivada constante, o comprimento da curva é simplesmente a integral dessa magnitude no intervalo dado:
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Resposta
O comprimento da curva é
.
Exercícios relacionados
Determine uma equação para a reta tangente à curva de intersecção dos cilindros
e
no ponto
.
Calcule os limites trigonométricos abaixo.
(b)
(b)
(2,5 pontos) Calcule a integral indefinida
como uma série infinita e diga seu raio de convergência.
Dica: Use que a série de Taylor de sen é
Dica: Use que a série de Taylor de sen
para todo
.
Verificar se o resultado das seguintes integrais é positivo, negativo ou zero, sem calculá-las.