Determine uma equação para a reta tangente à curva de intersecção dos cilindros e no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que pede para encontrar a equação da reta tangente à curva de intersecção de dois cilindros, que são as superfícies dadas por e , no ponto específico . Isso envolve conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional e derivadas para encontrar tangentes.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a curva de intersecção dessas duas superfícies é onde os dois cilindros se cortam. Para achar a reta tangente nessa curva no ponto dado, vamos precisar encontrar um vetor que seja tangente a essa curva nesse ponto. Esse vetor será a direção da nossa reta tangente.

Passo 3

Para encontrar o vetor tangente, vamos utilizar o gradiente das duas superfícies. O gradiente de uma função em um ponto dá a direção de maior crescimento dessa função naquele ponto e é perpendicular à superfície. Então, calculamos os gradientes de e .

Passo 4

Calculando os gradientes:
  • Para , o gradiente é .
  • Para , o gradiente é .
No ponto , temos:

Passo 5

O vetor tangente à curva de intersecção é perpendicular aos dois gradientes. Para encontrar esse vetor, podemos calcular o produto vetorial entre e . O produto vetorial resulta em um vetor que é perpendicular a ambos os vetores originais.

Passo 6

Calculando o produto vetorial:

Passo 7

Vamos simplificar o vetor multiplicando por 1/8 para facilitar:
Então, o vetor tangente é .

Passo 8

Agora que temos o vetor direção da reta tangente, podemos escrever a equação paramétrica da reta. A equação de uma reta no espaço é dada por:
Onde é o ponto de passagem e é o vetor direção.

Passo 9

Substituindo os valores:
Ou, em forma paramétrica:

Resposta

A equação da reta tangente à curva de intersecção no ponto é:
onde é um parâmetro real.

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Calcule os limites trigonométricos abaixo.
(b)
Calcule a integral dupla utilizando coordenadas polares:
Resp:
Calcule o comprimento da curva. ;
(2,5 pontos) Calcule a integral indefinida
como uma série infinita e diga seu raio de convergência.
Dica: Use que a série de Taylor de sen é
para todo .