Determine uma equação para a reta tangente à curva de intersecção dos cilindros e no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício que pede para encontrar a equação da reta tangente à curva de intersecção de dois cilindros, que são as superfícies dadas por e , no ponto específico . Isso envolve conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional e derivadas para encontrar tangentes.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a curva de intersecção dessas duas superfícies é onde os dois cilindros se cortam. Para achar a reta tangente nessa curva no ponto dado, vamos precisar encontrar um vetor que seja tangente a essa curva nesse ponto. Esse vetor será a direção da nossa reta tangente.
Passo 3
Para encontrar o vetor tangente, vamos utilizar o gradiente das duas superfícies. O gradiente de uma função em um ponto dá a direção de maior crescimento dessa função naquele ponto e é perpendicular à superfície. Então, calculamos os gradientes de e .
Passo 4
Calculando os gradientes:
Para , o gradiente é .
Para , o gradiente é .
No ponto , temos:
Passo 5
O vetor tangente à curva de intersecção é perpendicular aos dois gradientes. Para encontrar esse vetor, podemos calcular o produto vetorial entre e . O produto vetorial resulta em um vetor que é perpendicular a ambos os vetores originais.
Passo 6
Calculando o produto vetorial:
Passo 7
Vamos simplificar o vetor multiplicando por 1/8 para facilitar:
Então, o vetor tangente é .
Passo 8
Agora que temos o vetor direção da reta tangente, podemos escrever a equação paramétrica da reta. A equação de uma reta no espaço é dada por:
Onde é o ponto de passagem e é o vetor direção.
Passo 9
Substituindo os valores:
Ou, em forma paramétrica:
Resposta
A equação da reta tangente à curva de intersecção no ponto é: