Calcule os limites trigonométricos abaixo.
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite trigonométrico juntos! O exercício pede para calcular o limite:
Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas (seno e cosseno) e queremos encontrar o comportamento dessa fração quando se aproxima de . Para resolver isso, vamos usar propriedades de limites e identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador . Sabemos que existe uma identidade trigonométrica que relaciona com o cosseno duplo:
Então, podemos reescrever o numerador como:

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador . Para simplificar essa expressão, podemos utilizar outra identidade trigonométrica ou manipulação algébrica. No entanto, neste caso, é mais simples continuar com a fração já que não há uma simplificação direta óbvia.

Passo 4

Vamos reescrever o limite com a simplificação do numerador:
Agora, vamos calcular os valores das funções trigonométricas quando :
  • quando :
  • quando :
Então:

Passo 5

Observamos que substituindo diretamente na expressão original, tanto o numerador quanto o denominador se tornam zero, o que nos dá uma indeterminação do tipo . Nesse caso, podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador e calcular o limite das derivadas.
Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente:
  • Derivada do numerador :
  • Derivada do denominador :

Passo 6

Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital:
Vamos substituir :
Então:

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule a integral dupla utilizando coordenadas polares:
Resp:
Calcule os limites trigonométricos abaixo.
(a)
Determine uma equação para a reta tangente à curva de intersecção dos cilindros e no ponto .
Calcule o comprimento da curva. ;