Calcule os limites trigonométricos abaixo.
(b) L=lim pi sen^2 x-cos ^2 xsen x-cos x
x pi4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite trigonométrico juntos! O exercício pede para calcular o limite:
Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas (seno e cosseno) e queremos encontrar o comportamento dessa fração quando L = limx to pi4 sen^2 x - cos^2 xsen x - cos x se aproxima de . Para resolver isso, vamos usar propriedades de limites e identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador . Sabemos que existe uma identidade trigonométrica que relaciona com o cosseno duplo:
Então, podemos reescrever o numerador como:
sen^2 x - cos^2 x = -cos 2x

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador . Para simplificar essa expressão, podemos utilizar outra identidade trigonométrica ou manipulação algébrica. No entanto, neste caso, é mais simples continuar com a fração já que não há uma simplificação direta óbvia.

Passo 4

Vamos reescrever o limite com a simplificação do numerador:
Agora, vamos calcular os valores das funções trigonométricas quando L = limx to pi4 -cos 2xsen x - cos x :
  • cos 2 cdot pi4 = cos pi2 = 0 quando sen pi4 = cos pi4 = raiz22 :
sen pi4 - cos pi4 = raiz22 - raiz22 = 0
  • quando :
Então:

Passo 5

Observamos que substituindo ddx (sen^2 x - cos^2 x) = 2 sen x cos x + 2 cos x sen x = 4 sen x cos x diretamente na expressão original, tanto o numerador quanto o denominador se tornam zero, o que nos dá uma indeterminação do tipo ddx (sen x - cos x) = cos x + sen x . Nesse caso, podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador e calcular o limite das derivadas.
Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente:
  • Derivada do numerador :
  • Derivada do denominador :

Passo 6

Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital:
Vamos substituir L = limx to pi4 4 sen x cos xcos x + sen x :
Então:
L = 4 cdot raiz22 cdot raiz22raiz22 + raiz22 = 4 cdot 242raiz22 = 4 cdot 12raiz2 = 2raiz2 = raiz2

Resposta

O limite é igual a .

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