Calcule os limites trigonométricos abaixo.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite trigonométrico juntos! O exercício pede para calcular o limite:
Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas (seno e cosseno) e queremos encontrar o comportamento dessa fração quando
se aproxima de
. Para resolver isso, vamos usar propriedades de limites e identidades trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o numerador . Sabemos que existe uma identidade trigonométrica que relaciona com o cosseno duplo:
Então, podemos reescrever o numerador como:
Passo 3
Agora, vamos olhar para o denominador . Para simplificar essa expressão, podemos utilizar outra identidade trigonométrica ou manipulação algébrica. No entanto, neste caso, é mais simples continuar com a fração já que não há uma simplificação direta óbvia.
Passo 4
Vamos reescrever o limite com a simplificação do numerador:
Agora, vamos calcular os valores das funções trigonométricas quando
:
-
quando :
- quando
:
Então:
Passo 5
Observamos que substituindo
diretamente na expressão original, tanto o numerador quanto o denominador se tornam zero, o que nos dá uma indeterminação do tipo
. Nesse caso, podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador e calcular o limite das derivadas.
Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente:
- Derivada do numerador :
- Derivada do denominador :
Passo 6
Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital:
Vamos substituir
:
Então:
Resposta
O limite
é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral dupla utilizando coordenadas polares:
Resp:
Calcule os limites trigonométricos abaixo.
(a)
(a)
Determine uma equação para a reta tangente à curva de intersecção dos cilindros
e
no ponto
.
Calcule o comprimento da curva.
;