(2,5 pontos) Calcule a integral indefinida
integral x^2 sen x d x
como uma série infinita e diga seu raio de convergência.
Dica: Use que a série de Taylor de sen x é
sumn=0^infty(-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!
para todo x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida usando uma série infinita. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral e séries de potências. Para resolver isso, vamos precisar usar a série de Taylor da função seno e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a série de Taylor da função sin x = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1(2n+1)! . A dica já forneceu essa série para a gente:
Isso significa que podemos substituir por essa série na nossa integral.

Passo 3

Substituindo integral x^2 sin x , dx = integral x^2 ( sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1(2n+1)! ) dx pela série de Taylor, temos:

Passo 4

Agora, vamos distribuir integral x^2 sin x , dx = integral sumn=0^infty (-1)^n x^2 cdot x^2n+1(2n+1)! , dx = integral sumn=0^infty (-1)^n x^2n+3(2n+1)! , dx dentro da série:

Passo 5

Como a série converge para todo integral x^2 sin x , dx = sumn=0^infty (-1)^n 1(2n+1)! integral x^2n+3 , dx (raio de convergência infinito), podemos integrar termo a termo:

Passo 6

Vamos integrar integral x^2n+3 , dx = x^2n+42n+4 + C :
onde é a constante de integração.

Passo 7

Substituindo de volta na série, temos:
integral x^2 sin x , dx = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+4(2n+1)!(2n+4) + C

Passo 8

Podemos simplificar o denominador multiplicando os fatores:
integral x^2 sin x , dx = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+4(2n+4)(2n+1)! + C

Resposta

A integral indefinida é dada por
integral x^2 sin x , dx = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+4(2n+4)(2n+1)! + C
O raio de convergência dessa série infinita é infinito.

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