(2,5 pontos) Calcule a integral indefinida
como uma série infinita e diga seu raio de convergência.
Dica: Use que a série de Taylor de sen
é
para todo
.
Dica: Use que a série de Taylor de sen
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral indefinida
usando uma série infinita. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral e séries de potências. Para resolver isso, vamos precisar usar a série de Taylor da função seno e depois integrar termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a série de Taylor da função
. A dica já forneceu essa série para a gente:
Isso significa que podemos substituir
por essa série na nossa integral.
Passo 3
Substituindo
pela série de Taylor, temos:
Passo 4
Agora, vamos distribuir
dentro da série:
Passo 5
Como a série converge para todo
(raio de convergência infinito), podemos integrar termo a termo:
Passo 6
Vamos integrar
:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Substituindo de volta na série, temos:
Passo 8
Podemos simplificar o denominador multiplicando os fatores:
Resposta
A integral indefinida é dada por
O raio de convergência dessa série infinita é infinito.
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Calcule o comprimento da curva.
;
Determine uma equação para a reta tangente à curva de intersecção dos cilindros
e
no ponto
.
Verificar se o resultado das seguintes integrais é positivo, negativo ou zero, sem calculá-las.
Calcule o comprimento da curva.
;