(2,5 pontos) Calcule a integral indefinida
como uma série infinita e diga seu raio de convergência.
Dica: Use que a série de Taylor de sen é
para todo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida usando uma série infinita. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral e séries de potências. Para resolver isso, vamos precisar usar a série de Taylor da função seno e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a série de Taylor da função . A dica já forneceu essa série para a gente:
Isso significa que podemos substituir por essa série na nossa integral.

Passo 3

Substituindo pela série de Taylor, temos:

Passo 4

Agora, vamos distribuir dentro da série:

Passo 5

Como a série converge para todo (raio de convergência infinito), podemos integrar termo a termo:

Passo 6

Vamos integrar :
onde é a constante de integração.

Passo 7

Substituindo de volta na série, temos:

Passo 8

Podemos simplificar o denominador multiplicando os fatores:

Resposta

A integral indefinida é dada por
O raio de convergência dessa série infinita é infinito.

Exercícios relacionados

Calcule o comprimento da curva. ;
Determine uma equação para a reta tangente à curva de intersecção dos cilindros e no ponto .
Verificar se o resultado das seguintes integrais é positivo, negativo ou zero, sem calculá-las.
Calcule o comprimento da curva. ;