Calcule o comprimento da curva. ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento de uma curva dada por para variando de a . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre curvas paramétricas e integrais. Vamos precisar entender como encontrar a derivada da função vetorial, calcular o módulo dessa derivada e então integrar isso no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada da função vetorial . A derivada de uma função vetorial nos dá a taxa de variação da curva em relação a .

Passo 3

Agora, precisamos calcular o módulo (ou comprimento) dessa derivada . O módulo de um vetor é dado por:
Aplicando isso à nossa derivada:
Sabemos que , então substituindo:

Passo 4

Com o módulo da derivada encontrado, podemos agora calcular o comprimento da curva. A fórmula para o comprimento de uma curva paramétrica de a é:
No nosso caso, e , e . Então:

Passo 5

Agora é só calcular essa integral. Como é uma constante, podemos tirar da integral:

Resposta

O comprimento da curva é .

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Prove que se , então .
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