Calcule o comprimento da curva.
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento de uma curva dada por
para
variando de
a
. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre curvas paramétricas e integrais. Vamos precisar entender como encontrar a derivada da função vetorial, calcular o módulo dessa derivada e então integrar isso no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada da função vetorial
. A derivada de uma função vetorial nos dá a taxa de variação da curva em relação a
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o módulo (ou comprimento) dessa derivada
. O módulo de um vetor
é dado por:
Aplicando isso à nossa derivada:
Sabemos que
, então substituindo:
Passo 4
Com o módulo da derivada encontrado, podemos agora calcular o comprimento da curva. A fórmula para o comprimento
de uma curva paramétrica de
a
é:
No nosso caso,
e
, e
. Então:
Passo 5
Agora é só calcular essa integral. Como
é uma constante, podemos tirar da integral:
Resposta
O comprimento da curva é
.
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Encontre a solução geral:
Prove que se
, então
.
Encontre a solução geral:
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