Prove que se
, então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que o módulo de
é uma constante
. Isso significa que o tamanho do vetor
não muda com o tempo. A matéria que vamos usar aqui é derivada de vetores e produtos escalares. Precisamos entender como derivar vetores e usar o produto escalar para provar que
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
significa que o comprimento do vetor
é constante. Matemáticamente, isso é
.
Passo 3
Agora, para lidar com a igualdade
, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para facilitar a derivação:
Ou seja,
Passo 4
Vamos derivar ambos os lados dessa equação em relação ao tempo
. Usamos a regra do produto para derivadas:
Passo 5
Derivando o lado direito, já que
é uma constante, a derivada é zero:
Passo 6
No lado esquerdo, aplicando a regra do produto para vetores, temos:
Ent��o, a equação fica:
Passo 7
Dividindo ambos os lados por 2 para simplificar:
Resposta
Portanto, provamos que se
, então
.
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Calcule o comprimento da curva.
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