Prove que se , então .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que o módulo de é uma constante . Isso significa que o tamanho do vetor não muda com o tempo. A matéria que vamos usar aqui é derivada de vetores e produtos escalares. Precisamos entender como derivar vetores e usar o produto escalar para provar que .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que significa que o comprimento do vetor é constante. Matemáticamente, isso é .

Passo 3

Agora, para lidar com a igualdade , vamos elevar ambos os lados ao quadrado para facilitar a derivação:
Ou seja,

Passo 4

Vamos derivar ambos os lados dessa equação em relação ao tempo . Usamos a regra do produto para derivadas:

Passo 5

Derivando o lado direito, já que é uma constante, a derivada é zero:

Passo 6

No lado esquerdo, aplicando a regra do produto para vetores, temos:
Ent��o, a equação fica:

Passo 7

Dividindo ambos os lados por 2 para simplificar:

Resposta

Portanto, provamos que se , então .

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