Encontre a solução geral:
Passo 1
Opa! Vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
. Aqui, estamos lidando com uma equação linear não homogênea. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
. Para isso, encontramos a equação característica associada:
Passo 3
Resolvendo essa equação quadrática para
:
Então, temos duas raízes reais:
Passo 4
Com as raízes
e
, a solução geral da parte homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa
. Como o lado direito da equação é
, vamos supor que a solução particular tenha a forma:
onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 6
Calculando as derivadas de
:
Passo 7
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes dos termos de
e
:
Passo 9
Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,
Passo 10
Agora que encontramos
e
, a solução particular é:
Passo 11
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação é
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Prove que se
, então
.
Calcule a curvatura:
;
Calcule o comprimento da curva.
;
Encontre a solução geral: