Encontre a solução geral:

Passo 1

Opa! Vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem: . Aqui, estamos lidando com uma equação linear não homogênea. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação: . Para isso, encontramos a equação característica associada:

Passo 3

Resolvendo essa equação quadrática para :
Então, temos duas raízes reais:

Passo 4

Com as raízes e , a solução geral da parte homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa . Como o lado direito da equação é , vamos supor que a solução particular tenha a forma:
onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 6

Calculando as derivadas de :

Passo 7

Substituindo , e na equação original:
Simplificando:

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes dos termos de e :

Passo 9

Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,

Passo 10

Agora que encontramos e , a solução particular é:

Passo 11

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação é

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