Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Aqui estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea () e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea: . Para isso, encontramos a equação característica associada, que é uma equação quadrática obtida substituindo por , por , e por 1. Assim, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica . Usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, temos duas raízes reais:
Passo 4
Com as raízes e , a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de segundo grau:
Passo 6
Vamos calcular as derivadas de :
Substituindo , e na equação diferencial:
Passo 7
Vamos expandir e agrupar os termos:
Organizando por potências de :
Passo 8
Para que a igualdade seja válida para todo , os coeficientes dos termos de mesma potência devem ser iguais. Assim, temos o sistema de equações:
Resolvendo:
De , temos .
Substituindo em :
Substituindo e em :
Passo 9
Agora que temos os valores de , e , a solução particular é:
Passo 10
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular: