Encontre a solução geral: x'' - 3x' - 4x = 4t^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Aqui estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea ( ) e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea: . Para isso, encontramos a equação característica associada, que é uma equação quadrática obtida substituindo por , por , e por 1. Assim, a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica . Usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, temos duas raízes reais:

Passo 4

Com as raízes e , a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de segundo grau:

Passo 6

Vamos calcular as derivadas de :
Substituindo , e na equação diferencial:

Passo 7

Vamos expandir e agrupar os termos:
Organizando por potências de :

Passo 8

Para que a igualdade seja válida para todo , os coeficientes dos termos de mesma potência devem ser iguais. Assim, temos o sistema de equações:
Resolvendo:
  1. De , temos .
  2. Substituindo em :
  3. Substituindo e em :

Passo 9

Agora que temos os valores de , e , a solução particular é:

Passo 10

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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