Encontre a solução geral: x'' - 3x' - 4x = 3e^(2t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a solução geral da equação diferencial . Isso envolve tópicos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução da parte homogênea e uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando igualamos a parte da direita a zero:
Para isso, vamos encontrar os valores de r que satisfazem a equação característica.

Passo 3

A equação característica para essa equação homogênea é:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r.

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática:
Isso nos dá duas soluções:

Passo 5

Com os valores de r encontrados, a solução geral da equação homogênea é:
Onde A e B são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 6

Agora, vamos procurar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito é , tentamos uma solução na forma de:
onde C é uma constante a ser encontrada.

Passo 7

Calculando as derivadas da solução particular proposta:

Passo 8

Substituindo , e na equação original:
Simplificando:

Passo 9

Resolvendo para C:

Passo 10

Então, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde A e B são constantes arbitrárias.

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