Encontre a solução geral:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a solução geral da equação diferencial
. Isso envolve tópicos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução da parte homogênea e uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando igualamos a parte da direita a zero:
Para isso, vamos encontrar os valores de
que satisfazem a equação característica.
Passo 3
A equação característica para essa equação homogênea é:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 5
Com os valores de
encontrados, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 6
Agora, vamos procurar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito é
, tentamos uma solução na forma de:
onde
é uma constante a ser encontrada.
Passo 7
Calculando as derivadas da solução particular proposta:
Passo 8
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 9
Resolvendo para
:
Passo 10
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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