Calcule o comprimento da curva.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento de uma curva definida pela função vetorial
no intervalo de
de 0 a 1. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente o cálculo integral para encontrar o comprimento de uma curva no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial
. Isso significa derivar cada componente de
em relação a
. A derivada nos dá a velocidade ao longo da curva.
A derivada de
é:
Calculando cada derivada:
Passo 3
Agora, vamos calcular o módulo (ou comprimento) do vetor derivada
. O módulo de um vetor
é dado por:
Aplicando isso ao nosso
:
Passo 4
Com o módulo de
encontrado, vamos agora integrar esse valor de
até
para encontrar o comprimento total da curva.
A fórmula para o comprimento da curva é:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Observamos que:
Mas para simplificar sem entrar em funções hiperbólicas, podemos notar que:
Então:
Agora, a integral fica:
Resposta
O comprimento da curva é
unidades.