Calcule o comprimento da curva. ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento de uma curva definida pela função vetorial no intervalo de de 0 a 1. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente o cálculo integral para encontrar o comprimento de uma curva no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial . Isso significa derivar cada componente de em relação a . A derivada nos dá a velocidade ao longo da curva.
A derivada de é:
Calculando cada derivada:

Passo 3

Agora, vamos calcular o módulo (ou comprimento) do vetor derivada . O módulo de um vetor é dado por:
Aplicando isso ao nosso :

Passo 4

Com o módulo de encontrado, vamos agora integrar esse valor de até para encontrar o comprimento total da curva.
A fórmula para o comprimento da curva é:

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Observamos que:
Mas para simplificar sem entrar em funções hiperbólicas, podemos notar que:
Então:
Agora, a integral fica:

Resposta

O comprimento da curva é unidades.

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