Escrever uma equação vetorial para a superfície dada e determinar as equações do plano tangente e da reta normal, nos pontos indicados
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente escrever uma equação vetorial para a superfície dada, que é uma esfera com raio 3, já que a equação é
. Além disso, temos que encontrar as equações do plano tangente e da reta normal nos pontos
,
,
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, como vetores normais e planos tangentes a superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação vetorial da esfera. Sabemos que uma esfera centrada na origem tem a equação
, onde
é o raio. No nosso caso,
, então a equação vetorial fica:
Essa é a representação vetorial da superfície da esfera.
Passo 3
Agora, para cada ponto indicado (
,
,
e
), vamos determinar o plano tangente e a reta normal. O plano tangente a uma superfície em um ponto é aquele que “toca” a superfície apenas naquele ponto e é perpendicular ao vetor normal da superfície nesse ponto. A reta normal, por sua vez, é a linha que passa pelo ponto e está na direção do vetor normal.
Passo 4
O vetor normal à esfera em qualquer ponto
é dado pelo vetor gradiente da função
. Calculando o gradiente:
No ponto
, o vetor normal será
.
Passo 5
Vamos agora encontrar as equações do plano tangente para cada ponto. A equação geral do plano tangente é:
Simplificando:
Isso ocorre porque
pela equação da esfera.
Passo 6
Para a reta normal, usamos o vetor normal como direção e o ponto dado como ponto de passagem. A equação vetorial da reta normal será:
Onde
é um parâmetro real.
Passo 7
Vamos aplicar isso para cada ponto:
Ponto
:
- Plano Tangente:
ou simplificado . - Reta Normal:
.
Ponto
:
- Plano Tangente:
ou simplificado . - Reta Normal:
.
Ponto
:
- Plano Tangente:
ou simplificado . - Reta Normal:
.
Ponto
:
- Plano Tangente:
. - Reta Normal:
.
Resposta
Assim, para cada ponto
,
,
e
, foram determinadas as respectivas equações do plano tangente e da reta normal conforme detalhado acima.
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