Escrever uma equação vetorial para a superfície dada e determinar as equações do plano tangente e da reta normal, nos pontos indicados

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente escrever uma equação vetorial para a superfície dada, que é uma esfera com raio 3, já que a equação é . Além disso, temos que encontrar as equações do plano tangente e da reta normal nos pontos , , e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, como vetores normais e planos tangentes a superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação vetorial da esfera. Sabemos que uma esfera centrada na origem tem a equação , onde é o raio. No nosso caso, , então a equação vetorial fica:
Essa é a representação vetorial da superfície da esfera.

Passo 3

Agora, para cada ponto indicado ( , , e ), vamos determinar o plano tangente e a reta normal. O plano tangente a uma superfície em um ponto é aquele que “toca” a superfície apenas naquele ponto e é perpendicular ao vetor normal da superfície nesse ponto. A reta normal, por sua vez, é a linha que passa pelo ponto e está na direção do vetor normal.

Passo 4

O vetor normal à esfera em qualquer ponto é dado pelo vetor gradiente da função . Calculando o gradiente:
No ponto , o vetor normal será .

Passo 5

Vamos agora encontrar as equações do plano tangente para cada ponto. A equação geral do plano tangente é:
Simplificando:
Isso ocorre porque pela equação da esfera.

Passo 6

Para a reta normal, usamos o vetor normal como direção e o ponto dado como ponto de passagem. A equação vetorial da reta normal será:
Onde é um parâmetro real.

Passo 7

Vamos aplicar isso para cada ponto:
Ponto :
  • Plano Tangente: ou simplificado .
  • Reta Normal: .
Ponto :
  • Plano Tangente: ou simplificado .
  • Reta Normal: .
Ponto :
  • Plano Tangente: ou simplificado .
  • Reta Normal: .
Ponto :
  • Plano Tangente: .
  • Reta Normal: .

Resposta

Assim, para cada ponto , , e , foram determinadas as respectivas equações do plano tangente e da reta normal conforme detalhado acima.

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