Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o comprimento de uma curva que está definida pelas equações paramétricas e para entre 0 e 1. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, mais especificamente do tópico que trata de comprimento de curvas. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula que integra a raiz da soma dos quadrados das derivadas de e em relação a .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas de e em relação a . Isso é importante porque a fórmula do comprimento de curva depende dessas derivadas.
Derivada de em relação a :
Derivada de em relação a :
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula do comprimento da curva parametrizada. A fórmula é:
No nosso caso, e , então vamos substituir os valores:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral . Para isso, podemos usar uma substituição simples:
Seja , então ou .
Substituindo na integral:
Passo 6
Integrando :
Agora, voltamos para :
Passo 7
Vamos avaliar a integral definida de 0 a 1:
Sabendo que e :
Resposta
O comprimento da curva é unidades, aproximadamente 3,66.