Calcule o comprimento da curva.
x=1+3 t^2, y=4+2 t^3, 0 <= t <= 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o comprimento de uma curva que está definida pelas equações paramétricas e para entre 0 e 1. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, mais especificamente do tópico que trata de comprimento de curvas. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula que integra a raiz da soma dos quadrados das derivadas de e em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas de dxdt = ddt(1 + 3t^2) = 6t e dydt = ddt(4 + 2t^3) = 6t^2 em relação a . Isso é importante porque a fórmula do comprimento de curva depende dessas derivadas.
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula do comprimento da curva parametrizada. A fórmula é:
Comprimento = integrala^b raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt
No nosso caso, Comprimento = integral0^1 raiz(6t)^2 + (6t^2)^2 , dt e , então vamos substituir os valores:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
(6t)^2 + (6t^2)^2 = 36t^2 + 36t^4 = 36t^2(1 + t^2)
Então, a integral fica:
Comprimento = integral0^1 raiz36t^2(1 + t^2) , dt = integral0^1 6traiz1 + t^2 , dt

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral integral 6traiz1 + t^2 , dt = 6 times 12 integral raizu , du = 3 integral u^1/2 , du . Para isso, podemos usar uma substituição simples:
Seja , então ou .
Substituindo na integral:

Passo 6

Integrando 3 integral u^1/2 , du = 3 times 23 u^3/2 = 2u^3/2 :
2u^3/2 = 2(1 + t^2)^3/2
Agora, voltamos para :

Passo 7

Vamos avaliar a integral definida de 0 a 1:
Comprimento = 2(1 + t^2)^3/2 g|0^1 = 2(1 + 1^2)^3/2 - 2(1 + 0^2)^3/2 = 2(2)^3/2 - 2(1)^3/2
Sabendo que Comprimento = 2 times 2raiz2 - 2 times 1 = 4raiz2 - 2 e :

Resposta

O comprimento da curva é unidades, aproximadamente 3,66.

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