Calcule o comprimento da curva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o comprimento de uma curva que está definida pelas equações paramétricas e para entre 0 e 1. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, mais especificamente do tópico que trata de comprimento de curvas. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula que integra a raiz da soma dos quadrados das derivadas de e em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas de e em relação a . Isso é importante porque a fórmula do comprimento de curva depende dessas derivadas.
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula do comprimento da curva parametrizada. A fórmula é:
No nosso caso, e , então vamos substituir os valores:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral . Para isso, podemos usar uma substituição simples:
Seja , então ou .
Substituindo na integral:

Passo 6

Integrando :
Agora, voltamos para :

Passo 7

Vamos avaliar a integral definida de 0 a 1:
Sabendo que e :

Resposta

O comprimento da curva é unidades, aproximadamente 3,66.

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Encontre a solução geral de
Estude os máximos e mínimos locais e pontos de sela para cada uma das funções abaixo:
;
Determine o comprimento das curvas abaixo. de a .
Nos Exercícios de 19 a 48, ache o limite, se existir.
26.