Determine o comprimento das curvas abaixo. de a .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento da curva definida por no intervalo de até . Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em cálculo, que nos ajuda a determinar o tamanho de uma curva quando ela está descrita por uma função.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva quando está em função de . A fórmula é:
Aqui, é o comprimento da curva, e são os limites de integração (no nosso caso, 1 e 3), e é a derivada de em relação a .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de em relação a :
Derivando termo a termo:

Passo 4

Agora, vamos calcular :

Passo 5

Substituímos esse valor na fórmula do comprimento do arco:

Passo 6

Observando a expressão dentro da raiz, percebemos que ela pode ser simplificada:
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
Como estamos calculando um intervalo definido, o constante não é necessário.

Passo 8

Aplicamos os limites de integração de 1 a 3:
Simplificando:

Resposta

O comprimento da curva é unidades.

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© A parte do plano que está dentro do cilindro .