Determine o comprimento das curvas abaixo. x=(y^3 / 3)+1 /(4 y) de y=1 a y=3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento da curva definida por no intervalo de até . Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em cálculo, que nos ajuda a determinar o tamanho de uma curva quando ela está descrita por uma função.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva quando L = integrala^b raiz1 + (dxdy)^2 , dy está em função de . A fórmula é:
Aqui, é o comprimento da curva, e são os limites de integração (no nosso caso, 1 e 3), e é a derivada de em relação a .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de x = y^33 + 14y em relação a dxdy = ddy(y^33) + ddy(14y) = y^2 - 14y^2 :
Derivando termo a termo:

Passo 4

Agora, vamos calcular (dxdy)^2 = (y^2 - 14y^2)^2 = y^4 - 12 + 116y^4 :

Passo 5

Substituímos esse valor na fórmula do comprimento do arco:
L = integral1^3 raiz1 + y^4 - 12 + 116y^4 , dy = integral1^3 raizy^4 + 12 + 116y^4 , dy

Passo 6

Observando a expressão dentro da raiz, percebemos que ela pode ser simplificada:
y^4 + 12 + 116y^4 = (y^2 + 14y^2)^2
Então, a integral fica:
L = integral1^3 (y^2 + 14y^2) , dy

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral (y^2 + 14y^2) , dy = integral y^2 , dy + 14 integral y^-2 , dy = y^33 - 14y + C
Como estamos calculando um intervalo definido, o constante não é necessário.

Passo 8

Aplicamos os limites de integração de 1 a 3:
L = [3^33 - 14 times 3] - [1^33 - 14 times 1] = (273 - 112) - (13 - 14)
Simplificando:
L = (9 - 112) - (13 - 14) = (10812 - 112) - (412 - 312) = 10712 - 112 = 10612 = 536

Resposta

O comprimento da curva é unidades.

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