Determine o comprimento das curvas abaixo.
de
a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento da curva definida por
no intervalo de
até
. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em cálculo, que nos ajuda a determinar o tamanho de uma curva quando ela está descrita por uma função.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva quando
está em função de
. A fórmula é:
Aqui,
é o comprimento da curva,
e
são os limites de integração (no nosso caso, 1 e 3), e
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Derivando termo a termo:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Passo 5
Substituímos esse valor na fórmula do comprimento do arco:
Passo 6
Observando a expressão dentro da raiz, percebemos que ela pode ser simplificada:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Como estamos calculando um intervalo definido, o constante
não é necessário.
Passo 8
Aplicamos os limites de integração de 1 a 3:
Simplificando:
Resposta
O comprimento da curva é
unidades.
Exercícios relacionados
Calcule o comprimento da curva.
Encontre a solução geral de
Nos Exercícios de 19 a 48, ache o limite, se existir.
26.
26.
Determine uma representação parametrizada para as superfícies.
© A parte do plano que está dentro do cilindro
.
© A parte do plano