Estude os máximos e mínimos locais e pontos de sela para cada uma das funções abaixo:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente estudar os máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela, da função
. Isso envolve um pouco de cálculo multivariável, especificamente encontrar os pontos críticos e analisar a natureza deles usando derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Ou seja, vamos calcular
e
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar
e
.
Primeiro, da equação (1):
Substituindo
na equação (2):
Agora, substituindo
de volta na expressão de
:
Então, o ponto crítico é
.
Passo 5
Agora que temos o ponto crítico, vamos determinar se ele é um máximo, mínimo ou ponto de sela. Para isso, usamos a segunda derivada e calculamos o determinante da matriz Hessiana.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Agora, o determinante da Hessiana
é dado por:
Passo 6
Interpretando o valor de
:
- Se
e , então temos um mínimo local. - Se
e , então temos um máximo local. - Se
, então temos um ponto de sela.
No nosso caso,
e
, então o ponto crítico
é um mínimo local.
Resposta
A função
possui um mínimo local no ponto
.