Estude os máximos e mínimos locais e pontos de sela para cada uma das funções abaixo:
;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente estudar os máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela, da função . Isso envolve um pouco de cálculo multivariável, especificamente encontrar os pontos críticos e analisar a natureza deles usando derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Ou seja, vamos calcular e .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar e .
Primeiro, da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Agora, substituindo de volta na expressão de :
Então, o ponto crítico é .

Passo 5

Agora que temos o ponto crítico, vamos determinar se ele é um máximo, mínimo ou ponto de sela. Para isso, usamos a segunda derivada e calculamos o determinante da matriz Hessiana.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Agora, o determinante da Hessiana é dado por:

Passo 6

Interpretando o valor de :
  • Se e , então temos um mínimo local.
  • Se e , então temos um máximo local.
  • Se , então temos um ponto de sela.
No nosso caso, e , então o ponto crítico é um mínimo local.

Resposta

A função possui um mínimo local no ponto .

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