Estude os máximos e mínimos locais e pontos de sela para cada uma das funções abaixo:
f(x, y)=x^2+3 x y+4 y^2-6 x+2 y;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente estudar os máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela, da função . Isso envolve um pouco de cálculo multivariável, especificamente encontrar os pontos críticos e analisar a natureza deles usando derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Ou seja, vamos calcular e .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial fpartial x = 2x + 3y - 6
partial fpartial y = 3x + 8y + 2
Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
2x + 3y - 6 = 0 (1)
3x + 8y + 2 = 0 (2)

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar 2x + 3y = 6 Rightarrow 2x = 6 - 3y Rightarrow x = 3 - 32y e 3(3 - 32y) + 8y + 2 = 0 .
Primeiro, da equação (1):
9 - 92y + 8y + 2 = 0
Substituindo 11 + 72y = 0 Rightarrow 72y = -11 Rightarrow y = -227 na equação (2):
x = 3 - 32 ( -227 ) = 3 + 337 = 217 + 337 = 547
Agora, substituindo de volta na expressão de :
Então, o ponto crítico é .

Passo 5

Agora que temos o ponto crítico, vamos determinar se ele é um máximo, mínimo ou ponto de sela. Para isso, usamos a segunda derivada e calculamos o determinante da matriz Hessiana.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 2
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 8
fxy = partial^2 fpartial x partial y = 3
Agora, o determinante da Hessiana D = fxx cdot fyy - (fxy)^2 = 2 cdot 8 - 3^2 = 16 - 9 = 7 é dado por:

Passo 6

Interpretando o valor de :
  • Se e , então temos um mínimo local.
  • Se e , então temos um máximo local.
  • Se , então temos um ponto de sela.
No nosso caso, e , então o ponto crítico é um mínimo local.

Resposta

A função possui um mínimo local no ponto .

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