Encontre a solução geral de

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de terceira ordem:
Esse tipo de equação faz parte das equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para achar a solução geral, a gente vai precisar encontrar as raízes da equação característica, que é uma ferramenta que transforma a equação diferencial em uma equação algébrica mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica. Para isso, a gente assume que a solução é da forma , onde é uma constante que a gente precisa encontrar. Ao substituir na equação diferencial, ficamos com:
Essa é a nossa equação característica.

Passo 3

Agora, precisamos resolver a equação cúbica:
Vamos tentar encontrar pelo menos uma raiz racional. Usamos o Teorema das Raízes Racionais, que nos diz que as possíveis raízes são os divisores do termo constante dividido pelos divisores do coeficiente líder. Aqui, as possíveis raízes são , .
Testando :
Então, é uma raiz.

Passo 4

Agora que sabemos que é uma raiz, podemos fatorar a equação cúbica usando a divisão polinomial ou fatoração por agrupamento. Dividindo o polinômio por , ficamos com:
Agora, precisamos resolver a equação quadrática .

Passo 5

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , . Substituindo:
Então, as raízes são e .

Passo 6

Agora que temos todas as raízes da equação característica:
Como todas as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções correspondentes a cada raiz:
Onde , e são constantes arbitrárias que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Estude os máximos e mínimos locais e pontos de sela para cada uma das funções abaixo:
;
Determine o rotacional e o divergente dos campos vetoriais.
(b)
Calcule o comprimento da curva.
Determine o comprimento das curvas abaixo. de a .