Encontre a solução geral de
y^prime prime prime+5 y^prime prime+6 y^prime+2 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de terceira ordem:
y''' + 5y'' + 6y' + 2y = 0
Esse tipo de equação faz parte das equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para achar a solução geral, a gente vai precisar encontrar as raízes da equação característica, que é uma ferramenta que transforma a equação diferencial em uma equação algébrica mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica. Para isso, a gente assume que a solução é da forma y = e^rt, onde r é uma constante que a gente precisa encontrar. Ao substituir na equação diferencial, ficamos com:
r^3 + 5r^2 + 6r + 2 = 0
Essa é a nossa equação característica.

Passo 3

Agora, precisamos resolver a equação cúbica:
r^3 + 5r^2 + 6r + 2 = 0
Vamos tentar encontrar pelo menos uma raiz racional. Usamos o Teorema das Raízes Racionais, que nos diz que as possíveis raízes são os divisores do termo constante dividido pelos divisores do coeficiente líder. Aqui, as possíveis raízes são pm1, pm2.
Testando r = -1:
(-1)^3 + 5(-1)^2 + 6(-1) + 2 = -1 + 5 - 6 + 2 = 0
Então, r = -1 é uma raiz.

Passo 4

Agora que sabemos que r = -1 é uma raiz, podemos fatorar a equação cúbica usando a divisão polinomial ou fatoração por agrupamento. Dividindo o polinômio por (r + 1), ficamos com:
r^3 + 5r^2 + 6r + 2 = (r + 1)(r^2 + 4r + 2)
Agora, precisamos resolver a equação quadrática r^2 + 4r + 2 = 0.

Passo 5

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 1, b = 4, c = 2. Substituindo:
r = -4 pm raiz16 - 82 = -4 pm raiz82 = -4 pm 2raiz22 = -2 pm raiz2
Então, as raízes são r = -2 + raiz2 e r = -2 - raiz2.

Passo 6

Agora que temos todas as raízes da equação característica:
  1. r1 = -1
  2. r2 = -2 + raiz2
  3. r3 = -2 - raiz2
Como todas as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções correspondentes a cada raiz:
y(t) = C1 e^-t + C2 e^(-2 + raiz2)t + C3 e^(-2 - raiz2)t
Onde C1, C2 e C3 são constantes arbitrárias que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^-t + C2 e^(-2 + raiz2)t + C3 e^(-2 - raiz2)t

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