Calcule o comprimento da curva.
a.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Ele quer que a gente calcule o comprimento de uma curva definida por duas equações paramétricas: e , onde o valor de varia de 0 até 3. Essa parte da matemática faz parte dos cálculos de curvas, especificamente usando o conceito de curvas paramétricas. Para resolver isso, vamos precisar da fórmula de comprimento de arco para funções paramétricas, que é:
onde e são os limites de integração, que nesse caso são 0 e 3.

Passo 2

Agora, antes de aplicar a fórmula, precisamos encontrar as derivadas de e em relação a .
  1. Para :
    • A derivada em relação a é:
  2. Para :
    • A derivada em relação a é:
Agora que temos as derivadas, vamos substituir tudo na fórmula do comprimento.

Passo 3

Substituindo na fórmula do comprimento de arco, temos:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Agora, abrindo o quadrado:
Portanto, temos:

Passo 4

Agora, podemos usar a identidade , já que essa função representa o cosseno hiperbólico. Então temos:
Colocando em evidência, isso nos dá:
A função pode ser simplificada para . Agora, através de cálculos que envolvem substituições e tabelas, conseguiríamos resolver essa integral.

Resposta

A integral pode ser calculada diretamente e, após as simplificações e integrações, o comprimento da curva para os valores dados resulta em aproximadamente .

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Determine as derivadas parciais
a)