Calcule o comprimento da curva.
a.
a.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Ele quer que a gente calcule o comprimento de uma curva definida por duas equações paramétricas:
e
, onde o valor de
varia de 0 até 3. Essa parte da matemática faz parte dos cálculos de curvas, especificamente usando o conceito de curvas paramétricas. Para resolver isso, vamos precisar da fórmula de comprimento de arco para funções paramétricas, que é:
onde
e
são os limites de integração, que nesse caso são 0 e 3.
Passo 2
Agora, antes de aplicar a fórmula, precisamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
.
-
Para
: - A derivada em relação a
é:
- A derivada em relação a
-
Para
: - A derivada em relação a
é:
- A derivada em relação a
Agora que temos as derivadas, vamos substituir tudo na fórmula do comprimento.
Passo 3
Substituindo na fórmula do comprimento de arco, temos:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Agora, abrindo o quadrado:
Portanto, temos:
Passo 4
Agora, podemos usar a identidade
, já que essa função representa o cosseno hiperbólico. Então temos:
Colocando
em evidência, isso nos dá:
A função
pode ser simplificada para
. Agora, através de cálculos que envolvem substituições e tabelas, conseguiríamos resolver essa integral.
Resposta
A integral pode ser calculada diretamente e, após as simplificações e integrações, o comprimento da curva para os valores dados resulta em aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Mostre que se
são duas soluções da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
, então qualquer combinação linear destas soluções continua a ser solução, isto é:
é também solução (princípio de superposição).
Resolva a equação diferencial.
Encontre uma equação polar para a curva representada pela equação cartesiana dada.
Determine as derivadas parciais
a)
a)