Mostre que se são duas soluções da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem , então qualquer combinação linear destas soluções continua a ser solução, isto é: é também solução (princípio de superposição).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos falando sobre equações diferenciais, mais especificamente a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem, que tem a forma . O que queremos mostrar é que, se temos duas soluções e dessa equação, então qualquer combinação linear dessas soluções (ou seja, uma nova função , onde e são constantes) também é uma solução da mesma equação. Isso é conhecido como princípio de superposição.

Passo 2

Agora, vamos começar a resolver isso. A primeira coisa que precisamos fazer é substituir a combinação linear que temos, , na equação . Para isso, precisamos encontrar as derivadas de .
A primeira derivada de é:
A segunda derivada de é:

Passo 3

Agora que temos as derivadas, vamos substituir esses valores na nossa equação original. Então vamos substituir , e na equação:

Passo 4

Agora, vamos separar as somas. Como sabemos que e são soluções da equação original, isso significa que seguem a mesma equação, ou seja:
Substituindo isso na nossa equação, temos:

Resposta

Como a combinação de soluções leva a , concluímos que é também uma solução da equação diferencial. Portanto, demonstramos que qualquer combinação linear de soluções de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem também é uma solução.

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