Mostre que se y1(x), y2(x) são duas soluções da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem y^prime prime+p(x) y^prime+q(x) y=0, então qualquer combinação linear destas soluções continua a ser solução, isto é: y(x)=alpha1 y1(x)+alpha2 y2(x) é também solução (princípio de superposição).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos falando sobre equações diferenciais, mais especificamente a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem, que tem a forma y^primeprime + p(x) y^prime + q(x) y = 0. O que queremos mostrar é que, se temos duas soluções y1(x) e y2(x) dessa equação, então qualquer combinação linear dessas soluções (ou seja, uma nova função y(x) = alpha1 y1(x) + alpha2 y2(x), onde alpha1 e alpha2 são constantes) também é uma solução da mesma equação. Isso é conhecido como princípio de superposição.

Passo 2

Agora, vamos começar a resolver isso. A primeira coisa que precisamos fazer é substituir a combinação linear que temos, y(x) = alpha1 y1(x) + alpha2 y2(x), na equação y^primeprime + p(x) y^prime + q(x) y = 0. Para isso, precisamos encontrar as derivadas de y(x).
A primeira derivada de y(x) é:
y^prime(x) = alpha1 y1^prime(x) + alpha2 y2^prime(x)
A segunda derivada de y(x) é:
y^primeprime(x) = alpha1 y1^primeprime(x) + alpha2 y2^primeprime(x)

Passo 3

Agora que temos as derivadas, vamos substituir esses valores na nossa equação original. Então vamos substituir y^primeprime, y^prime e y na equação:
y^primeprime + p(x) y^prime + q(x) y = alpha1 y1^primeprime(x) + alpha2 y2^primeprime(x) + p(x)(alpha1 y1^prime(x) + alpha2 y2^prime(x)) + q(x)(alpha1 y1(x) + alpha2 y2(x))

Passo 4

Agora, vamos separar as somas. Como sabemos que y1(x) e y2(x) são soluções da equação original, isso significa que seguem a mesma equação, ou seja:
y1^primeprime + p(x) y1^prime + q(x) y1 = 0
y2^primeprime + p(x) y2^prime + q(x) y2 = 0
Substituindo isso na nossa equação, temos:
alpha1(0) + alpha2(0) = 0

Resposta

Como a combinação de soluções leva a 0 = 0, concluímos que y(x) = alpha1 y1(x) + alpha2 y2(x) é também uma solução da equação diferencial. Portanto, demonstramos que qualquer combinação linear de soluções de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem também é uma solução.

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