Mostre que se
são duas soluções da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
, então qualquer combinação linear destas soluções continua a ser solução, isto é:
é também solução (princípio de superposição).
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos falando sobre equações diferenciais, mais especificamente a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem, que tem a forma
. O que queremos mostrar é que, se temos duas soluções
e
dessa equação, então qualquer combinação linear dessas soluções (ou seja, uma nova função
, onde
e
são constantes) também é uma solução da mesma equação. Isso é conhecido como princípio de superposição.
Passo 2
Agora, vamos começar a resolver isso. A primeira coisa que precisamos fazer é substituir a combinação linear que temos,
, na equação
. Para isso, precisamos encontrar as derivadas de
.
A primeira derivada de
é:
A segunda derivada de
é:
Passo 3
Agora que temos as derivadas, vamos substituir esses valores na nossa equação original. Então vamos substituir
,
e
na equação:
Passo 4
Agora, vamos separar as somas. Como sabemos que
e
são soluções da equação original, isso significa que seguem a mesma equação, ou seja:
Substituindo isso na nossa equação, temos:
Resposta
Como a combinação de soluções leva a
, concluímos que
é também uma solução da equação diferencial. Portanto, demonstramos que qualquer combinação linear de soluções de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem também é uma solução.
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e
.
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a.
a.
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