Determine as derivadas parciais
a)
a)
Passo 1
Vamos lá, meu amigo! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo, especificamente sobre derivadas parciais. A derivada parcial é uma maneira de diferenciar funções que dependem de mais de uma variável. Nesse caso, temos a função
. Para resolver isso, precisamos aplicar a regra de derivadas, mas focando em uma variável por vez, enquanto consideramos a outra como uma constante.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que chamamos de
. Quando estamos fazendo isso, tratamos
como uma constante. Então, aplicamos a regra da potência, que diz que a derivada de
é
.
Vamos diferenciar cada termo da função:
-
O primeiro termo é
:
Derivando em relação a, a gente tem . -
O segundo termo é
:
Aqui, a derivada é, pois é tratado como constante. -
O último termo é
:
A derivada de uma constante é sempre.
Então, juntando tudo isso, temos a derivada parcial em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que chamamos de
. Agora, tratamos
como uma constante.
Vamos diferenciar cada termo da função novamente:
-
O primeiro termo é
:
A derivada em relação aaqui é . -
O segundo termo é
:
Aqui, a derivada é, já que é constante. -
O último termo é
:
A derivada continua sendo.
Então, juntando tudo, temos a derivada parcial em relação a
:
Resposta
Agora que fizemos todos os passos, as derivadas parciais são:
- Em relação a
: . - Em relação a
:
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a.
a.
(*) Uma empresa fabricante de tintas estima que pode vender
galões de tinta a um preço de
reais.
© O que pode ser dito quanto ao sinal de
© O que pode ser dito quanto ao sinal de
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.