Determine as derivadas parciais
a) f(x, y)=5 x^4 y^2+x y^3+4

Passo 1

Vamos lá, meu amigo! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo, especificamente sobre derivadas parciais. A derivada parcial é uma maneira de diferenciar funções que dependem de mais de uma variável. Nesse caso, temos a função f(x, y) = 5 x^4 y^2 + x y^3 + 4. Para resolver isso, precisamos aplicar a regra de derivadas, mas focando em uma variável por vez, enquanto consideramos a outra como uma constante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x, que chamamos de fx. Quando estamos fazendo isso, tratamos y como uma constante. Então, aplicamos a regra da potência, que diz que a derivada de x^n é n x^n-1.
Vamos diferenciar cada termo da função:
  1. O primeiro termo é 5 x^4 y^2:
    Derivando em relação a x, a gente tem 5 cdot 4 x^3 y^2 = 20 x^3 y^2.
  2. O segundo termo é x y^3:
    Aqui, a derivada é y^3, pois y^3 é tratado como constante.
  3. O último termo é 4:
    A derivada de uma constante é sempre 0.
Então, juntando tudo isso, temos a derivada parcial em relação a x:
fx(x, y) = 20 x^3 y^2 + y^3 + 0 = 20 x^3 y^2 + y^3

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y, que chamamos de fy. Agora, tratamos x como uma constante.
Vamos diferenciar cada termo da função novamente:
  1. O primeiro termo é 5 x^4 y^2:
    A derivada em relação a y aqui é 5 x^4 cdot 2y = 10 x^4 y.
  2. O segundo termo é x y^3:
    Aqui, a derivada é 3 y^2 x, já que x é constante.
  3. O último termo é 4:
    A derivada continua sendo 0.
Então, juntando tudo, temos a derivada parcial em relação a y:
fy(x, y) = 10 x^4 y + 3 x y^2 + 0 = 10 x^4 y + 3 x y^2

Resposta

Agora que fizemos todos os passos, as derivadas parciais são:
  • Em relação a x: fx(x, y) = 20 x^3 y^2 + y^3.
  • Em relação a y: fy(x, y) = 10 x^4 y + 3 x y^2

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