Determine as derivadas parciais
a)

Passo 1

Vamos lá, meu amigo! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo, especificamente sobre derivadas parciais. A derivada parcial é uma maneira de diferenciar funções que dependem de mais de uma variável. Nesse caso, temos a função . Para resolver isso, precisamos aplicar a regra de derivadas, mas focando em uma variável por vez, enquanto consideramos a outra como uma constante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que chamamos de . Quando estamos fazendo isso, tratamos como uma constante. Então, aplicamos a regra da potência, que diz que a derivada de é .
Vamos diferenciar cada termo da função:
  1. O primeiro termo é :
    Derivando em relação a , a gente tem .
  2. O segundo termo é :
    Aqui, a derivada é , pois é tratado como constante.
  3. O último termo é :
    A derivada de uma constante é sempre .
Então, juntando tudo isso, temos a derivada parcial em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que chamamos de . Agora, tratamos como uma constante.
Vamos diferenciar cada termo da função novamente:
  1. O primeiro termo é :
    A derivada em relação a aqui é .
  2. O segundo termo é :
    Aqui, a derivada é , já que é constante.
  3. O último termo é :
    A derivada continua sendo .
Então, juntando tudo, temos a derivada parcial em relação a :

Resposta

Agora que fizemos todos os passos, as derivadas parciais são:
  • Em relação a : .
  • Em relação a :

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