Resolva a equação diferencial.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver a equação diferencial
. O conteúdo aqui é sobre equações diferenciais, que é um tipo de equação que envolve derivadas. Para resolver isso, a gente vai precisar fazer algumas manipulações e separações.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a manipulação. A equação original é
. Podemos multiplicar ambos os lados por
para eliminar a fração. Ficamos com:
Agora, vamos expandir a equação:
Passo 3
A próxima parte é organizar a equação para que a gente possa separar as variáveis. Podemos colocar todas as partes que envolvem
de um lado e as que envolvem
do outro. Assim, ficamos com:
Agora, vamos rearranjar isso. A equação fica:
Vamos colocar tudo que envolve
do lado esquerdo:
Passo 4
Agora, podemos separar as variáveis
de um lado e
do outro. Fica assim:
Depois de separar, a gente vai integrar ambos os lados, mas primeiro, vamos simples e apenas manipular para deixar o lado direito mais fácil:
Agora a gente integra os dois lados!
Passo 5
Para integrar, usamos a regra do logaritmo e técnicas de integração. A integral do lado esquerdo e direito vai ser um pouquinho mais complexa, mas vamos seguindo!
Vamos integrar o lado esquerdo:
E o lado direito:
Resposta
Juntando tudo e resolvendo para
, a equação final vai ser algo assim:
Resumindo então, a resolução da equação diferencial é isso. Se você simplificar e resolver, acha a função que você precisa. Espero que tenha ajudado!
Exercícios relacionados
Encontrar a área de interseção entre
e
.
Mostre que se
são duas soluções da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
, então qualquer combinação linear destas soluções continua a ser solução, isto é:
é também solução (princípio de superposição).
Calcule o comprimento da curva.
a.
a.