Resolva a equação diferencial. d yd x=x+3 yx-y

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a equação diferencial d yd x=x+3 yx-y. O conteúdo aqui é sobre equações diferenciais, que é um tipo de equação que envolve derivadas. Para resolver isso, a gente vai precisar fazer algumas manipulações e separações.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a manipulação. A equação original é d yd x=x+3 yx-y. Podemos multiplicar ambos os lados por (x - y) para eliminar a fração. Ficamos com:
(x - y) d yd x = x + 3y
Agora, vamos expandir a equação:
x d yd x - y d yd x = x + 3y

Passo 3

A próxima parte é organizar a equação para que a gente possa separar as variáveis. Podemos colocar todas as partes que envolvem y de um lado e as que envolvem x do outro. Assim, ficamos com:
x d yd x = x + 3y + y d yd x
Agora, vamos rearranjar isso. A equação fica:
x d yd x - y d yd x = x + 3y
Vamos colocar tudo que envolve y do lado esquerdo:
d yd x (x - y) = x + 3y

Passo 4

Agora, podemos separar as variáveis y de um lado e x do outro. Fica assim:
1x - y d yd x = x + 3yx - y
Depois de separar, a gente vai integrar ambos os lados, mas primeiro, vamos simples e apenas manipular para deixar o lado direito mais fácil:
d yx + 3y = dxx - y
Agora a gente integra os dois lados!

Passo 5

Para integrar, usamos a regra do logaritmo e técnicas de integração. A integral do lado esquerdo e direito vai ser um pouquinho mais complexa, mas vamos seguindo!
Vamos integrar o lado esquerdo:
integral 1x + 3y dy = 13 log |x + 3y| + C1
E o lado direito:
integral 1x - y dx = -log|x - y| + C2

Resposta

Juntando tudo e resolvendo para y, a equação final vai ser algo assim:
13log|x + 3y| = - log|x - y| + C
Resumindo então, a resolução da equação diferencial é isso. Se você simplificar e resolver, acha a função que você precisa. Espero que tenha ajudado!

Exercícios relacionados