Resolva a equação diferencial.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a equação diferencial . O conteúdo aqui é sobre equações diferenciais, que é um tipo de equação que envolve derivadas. Para resolver isso, a gente vai precisar fazer algumas manipulações e separações.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a manipulação. A equação original é . Podemos multiplicar ambos os lados por para eliminar a fração. Ficamos com:
Agora, vamos expandir a equação:

Passo 3

A próxima parte é organizar a equação para que a gente possa separar as variáveis. Podemos colocar todas as partes que envolvem de um lado e as que envolvem do outro. Assim, ficamos com:
Agora, vamos rearranjar isso. A equação fica:
Vamos colocar tudo que envolve do lado esquerdo:

Passo 4

Agora, podemos separar as variáveis de um lado e do outro. Fica assim:
Depois de separar, a gente vai integrar ambos os lados, mas primeiro, vamos simples e apenas manipular para deixar o lado direito mais fácil:
Agora a gente integra os dois lados!

Passo 5

Para integrar, usamos a regra do logaritmo e técnicas de integração. A integral do lado esquerdo e direito vai ser um pouquinho mais complexa, mas vamos seguindo!
Vamos integrar o lado esquerdo:
E o lado direito:

Resposta

Juntando tudo e resolvendo para , a equação final vai ser algo assim:
Resumindo então, a resolução da equação diferencial é isso. Se você simplificar e resolver, acha a função que você precisa. Espero que tenha ajudado!

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;
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a.