Calcule o comprimento da curva:

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema: precisamos calcular o comprimento da curva definida por no intervalo de até . Esse tipo de cálculo faz parte do Cálculo Integral, mais especificamente do estudo sobre o comprimento de curvas. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva entre e . A fórmula é:
Isso significa que precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de :
Usando a regra da cadeia, temos:

Passo 4

Agora, vamos substituir na fórmula do comprimento:
Simplificando:

Passo 5

Substituindo de volta na integral:
Porque a raiz quadrada de um quadrado é o próprio valor absoluto, e como é sempre positivo, podemos simplificar para .
Agora, vamos calcular a integral:

Resposta

O comprimento da curva é unidades.

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Calcule o comprimento da curva:
Considere a seguinte equação diferencial:
Use a fórmula de Euler para escrever a expressão dada na forma ib: (6) .
Encontre a solução geral da equação diferencial dada: .