Considere a seguinte equação diferencial:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial:
Isso é uma equação diferencial de segunda ordem e parece ser do tipo equação de Euler, que é aquela onde os coeficientes das derivadas têm potências de . Para resolver, vamos precisar entender como resolver equações de Euler e também encontrar uma solução particular usando métodos adequados para o lado direito da equação que tem um .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, vamos considerar a equação sem o lado direito:
Essa é uma equação de Euler do tipo . A gente resolve assumindo uma solução da forma , onde é um número que a gente vai descobrir.

Passo 3

Vamos substituir na equação homogênea. Primeiro, encontramos as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:

Passo 4

Agora, podemos fatorar :
Como para , temos que:
Simplificando a equação:

Passo 5

Vamos resolver a equação quadrática :
Então, temos duas soluções para :

Passo 6

Com esses valores de , a solução geral da parte homogênea é:
Onde e são constantes que vão ser determinadas pelas condições iniciais, se houver.

Passo 7

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
O lado direito é , então vamos supor uma solução do tipo:
Como o termo não está na solução homogênea, vamos escolher .
Então, nossa tentativa é:

Passo 8

Vamos calcular as derivadas necessárias:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Simplificando:

Passo 9

Agora, substituímos , e na equação original:
Simplificando cada termo:
Somando tudo:

Passo 10

Agora, combinamos os termos semelhantes:
  • Termos com :
  • Termos sem :
Então, a equação fica:

Passo 11

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais:
  1. Para os termos com :
  1. Para os termos sem :
Substituindo :

Passo 12

Agora que encontramos e , podemos escrever a solução particular:

Passo 13

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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