Considere a seguinte equação diferencial:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial:
Isso é uma equação diferencial de segunda ordem e parece ser do tipo equação de Euler, que é aquela onde os coeficientes das derivadas têm potências de
. Para resolver, vamos precisar entender como resolver equações de Euler e também encontrar uma solução particular usando métodos adequados para o lado direito da equação que tem um
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, vamos considerar a equação sem o lado direito:
Essa é uma equação de Euler do tipo
. A gente resolve assumindo uma solução da forma
, onde
é um número que a gente vai descobrir.
Passo 3
Vamos substituir
na equação homogênea. Primeiro, encontramos as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Passo 4
Agora, podemos fatorar
:
Como
para
, temos que:
Simplificando a equação:
Passo 5
Vamos resolver a equação quadrática
:
Então, temos duas soluções para
:
Passo 6
Com esses valores de
, a solução geral da parte homogênea é:
Onde
e
são constantes que vão ser determinadas pelas condições iniciais, se houver.
Passo 7
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
O lado direito é
, então vamos supor uma solução do tipo:
Como o termo
não está na solução homogênea, vamos escolher
.
Então, nossa tentativa é:
Passo 8
Vamos calcular as derivadas necessárias:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Simplificando:
Passo 9
Agora, substituímos
,
e
na equação original:
Simplificando cada termo:
Somando tudo:
Passo 10
Agora, combinamos os termos semelhantes:
- Termos com
:
- Termos sem
:
Então, a equação fica:
Passo 11
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais:
- Para os termos com
:
- Para os termos sem
:
Substituindo
:
Passo 12
Agora que encontramos
e
, podemos escrever a solução particular:
Passo 13
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea
e da solução particular
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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