Calcule o comprimento da curva:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento da curva dada por
no intervalo de
até
. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo de comprimento de curvas, que envolve derivadas e integrais. Vamos precisar da fórmula do comprimento de uma curva e saber como derivar e integrar funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva
entre
e
. A fórmula é:
Isso significa que a gente precisa derivar a função
, elevar ao quadrado, somar 1 e então tirar a raiz quadrada. Depois, integra tudo isso de
a
.
Passo 3
Vamos começar derivando a função
em relação a
. A função é:
Derivando termo a termo:
Calculando cada derivada:
Então, a derivada é:
Passo 4
Agora, vamos elevar a derivada ao quadrado e somar 1, conforme a fórmula do comprimento da curva:
Vamos expandir o quadrado:
Somando 1:
Passo 5
Então, a expressão dentro da integral para o comprimento da curva fica:
Vamos simplificar a raiz quadrada. Observando os termos, podemos reescrever a expressão dentro da raiz como:
Isso porque:
Então, a raiz fica mais simples:
Passo 6
Agora, nossa integral para o comprimento da curva é:
Vamos separar a integral em duas partes:
Calculando cada integral:
Para
:
Para
:
Passo 7
Agora, vamos aplicar os limites de integração de 1 a 3:
Calculando cada parte:
Para
:
Para
:
Passo 8
Somando as duas partes:
Resposta
O comprimento da curva é
unidades, aproximadamente
.
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Considere a seguinte equação diferencial:
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Calcule o comprimento da curva:
Use a fórmula de Euler para escrever a expressão dada na forma
ib: (6)
.