Calcule o comprimento da curva:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento da curva dada por no intervalo de até . Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo de comprimento de curvas, que envolve derivadas e integrais. Vamos precisar da fórmula do comprimento de uma curva e saber como derivar e integrar funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva entre e . A fórmula é:
Isso significa que a gente precisa derivar a função , elevar ao quadrado, somar 1 e então tirar a raiz quadrada. Depois, integra tudo isso de a .

Passo 3

Vamos começar derivando a função em relação a . A função é:
Derivando termo a termo:
Calculando cada derivada:
Então, a derivada é:

Passo 4

Agora, vamos elevar a derivada ao quadrado e somar 1, conforme a fórmula do comprimento da curva:
Vamos expandir o quadrado:
Somando 1:

Passo 5

Então, a expressão dentro da integral para o comprimento da curva fica:
Vamos simplificar a raiz quadrada. Observando os termos, podemos reescrever a expressão dentro da raiz como:
Isso porque:
Então, a raiz fica mais simples:

Passo 6

Agora, nossa integral para o comprimento da curva é:
Vamos separar a integral em duas partes:
Calculando cada integral:
Para :
Para :

Passo 7

Agora, vamos aplicar os limites de integração de 1 a 3:
Calculando cada parte:
Para :
Para :

Passo 8

Somando as duas partes:

Resposta

O comprimento da curva é unidades, aproximadamente .

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Considere a seguinte equação diferencial:
Considere a seguinte equação diferencial:
Calcule o comprimento da curva:
Use a fórmula de Euler para escrever a expressão dada na forma ib: (6) .